NEPŘETRŽITÁ PROMĚNNÁ: VLASTNOSTI, PŘÍKLADY A CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Kontinuální proměnná je ten, který může mít nekonečný počet číselných hodnot mezi dvěma danými hodnotami, i když jsou tyto dvě hodnoty jsou libovolně blízko. Používají se k popisu měřitelných atributů; například výška a hmotnost. Hodnoty, které spojitá proměnná bere, mohou být racionální čísla, reálná čísla nebo komplexní čísla, i když druhý případ je ve statistikách méně častý.

Hlavní charakteristika spojitých proměnných spočívá v tom, že mezi dvěma racionálními nebo reálnými hodnotami lze vždy najít jinou, a mezi touto druhou a první další hodnotou lze najít, a tak dále.

Obrázek 1. Křivka představuje spojité rozdělení a tyčky jsou diskrétní. Zdroj: pixabay

Předpokládejme například proměnnou hmotnost ve skupině, kde nejtěžší váží 95 kg a nejnižší váží 48 kg; to by byl rozsah proměnné a počet možných hodnot je nekonečný.

Například mezi 50,00 kg a 50,10 kg může být 50,01. Opatření 50.005 však může být mezi 50,00 a 50,01. To je spojitá proměnná. Na druhou stranu, pokud by se při možných měřeních hmotnosti stanovila přesnost jednoho desetinného místa, pak by použitá proměnná byla diskrétní.

Nepřetržité proměnné patří do kategorie kvantitativních proměnných, protože s nimi mají číselnou hodnotu. S touto číselnou hodnotou je možné provádět matematické operace od aritmetických po infinitesimální metody výpočtu.

Příklady

Většina z proměnných ve fyzice jsou spojité proměnné, mezi nimi můžeme jmenovat: délka, čas, rychlost, zrychlení, energie, teplota a další.

Spojité proměnné a diskrétní proměnné

Ve statistice lze definovat různé typy proměnných, kvalitativních i kvantitativních. Nepřetržité proměnné patří do druhé kategorie. S nimi je možné provádět aritmetické a výpočtové operace.

Například proměnná h, odpovídající lidem s výškou mezi 1,50 ma 1,95 m, je spojitá proměnná.

Pojďme porovnat tuto proměnnou s touto proměnnou: kolikrát mincí hodí mince, které nazýváme n.

Proměnná n může nabývat hodnot mezi 0 a nekonečnem, avšak n není spojitá proměnná, protože nemůže převzít hodnotu 1,3 nebo 1,5, protože mezi hodnotami 1 a 2 není žádná jiná. Toto je příklad diskrétní proměnné.

Cvičení s průběžnými proměnnými

Vezměme si následující příklad: stroj vyrábí zápalky a balí je do své krabice. Jsou definovány dvě statistické proměnné:

Jmenovitá délka shody je 5,0 cm s tolerancí 0,1 cm. Počet zápasů v krabici je 50 s tolerancí 3.

a) Označte rozsah hodnot, které mohou mít L a N.

b) Kolik hodnot může L získat?

c) Kolik hodnot n může mít?

V každém případě uveďte, zda se jedná o diskrétní nebo spojitou proměnnou.

Řešení

Hodnoty L jsou v rozsahu; to znamená, že hodnota L je v intervalu a proměnná L může mezi těmito dvěma měřeními provádět nekonečné hodnoty. Je to tedy spojitá proměnná.

Hodnota proměnné n je v intervalu. Proměnná n může v intervalu tolerance přijímat pouze 6 možných hodnot, jedná se tedy o diskrétní proměnnou.

Cvičení

Pokud kromě kontinuálních hodnot mají hodnoty přijaté proměnnou s sebou spojenou určitou pravděpodobnost výskytu, pak je to souvislá náhodná proměnná. Je velmi důležité rozlišovat, zda je proměnná diskrétní nebo spojitá, protože pravděpodobnostní modely použitelné pro jeden a druhý jsou odlišné.

Spojitá náhodná proměnná je zcela definována, pokud jsou známy hodnoty, které může předpokládat, a pravděpodobnost, že se každá z nich stane.

- Cvičení 1 pravděpodobností

Matchmaker je dělá tak, že délka tyčinek je vždy mezi hodnotami 4,9 cm a 5,1 cm a nula mimo tyto hodnoty. Je pravděpodobné, že se získá hůl, která měří mezi 5,00 a 5,05 cm, i když bychom také mohli získat jeden z 5 0003 cm. Jsou tyto hodnoty stejně pravděpodobné?

Řešení

Předpokládejme, že hustota pravděpodobnosti je stejná. Pravděpodobnost nalezení shody s určitou délkou je uvedena níže:

-Je-li shoda v rozsahu, má pravděpodobnost = 1 (nebo 100%), protože stroj nevykresluje shody mimo tyto hodnoty.

-Vyhledávání shody, která je mezi 4,9 a 5,0, má pravděpodobnost = ½ = 0,5 (50%), protože je poloviční rozsah délek.

- Pravděpodobnost, že shoda má délku mezi 5,0 a 5,1, je také 0,5 (50%)

-Je známo, že neexistují žádné zápalky, které mají délku mezi 5,0 a 5,2. Pravděpodobnost: nula (0%).

Pravděpodobnost nalezení párátka v určitém rozmezí

Nyní sledujme následující pravděpodobnosti P získání tyčinek, jejichž délka je mezi l ₁ a l ₂:

-P, že shoda má délku mezi 5,00 a 5,05, se označuje jako P ():

-P, že kopec má délku mezi 5,00 a 5,01, je:

-P, že kopec má délku mezi 5 000 a 5 001, je ještě menší:

Pokud stále snižujeme interval, abychom se přiblížili a přiblížili k 5,00, je pravděpodobnost, že párátko je přesně 5,00 cm, nula (0%). Co máme, je pravděpodobnost nalezení shody v určitém rozmezí.

Pravděpodobnost nalezení více párátků v daném rozsahu

Pokud jsou události nezávislé, je pravděpodobnost, že dvě párátka jsou v určitém rozmezí, výsledkem jejich pravděpodobností.

- Pravděpodobnost, že dvě hůlky jsou mezi 5,0 a 5,1, je 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

- Pravděpodobnost, že 50 párátků je mezi 5,0 a 5,1, je (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, tj. Téměř nula.

- Pravděpodobnost, že 50 párátků je mezi 4,9 a 5,1, je (1) ^ 50 = 1 (100%)

- Cvičení 2 pravděpodobností

V předchozím příkladu byl učiněn předpoklad, že pravděpodobnost je v daném intervalu jednotná, není tomu však vždy.

V případě skutečného stroje, který produkuje párátka, je šance, že se párátko nachází na střední hodnotě, větší než na jedné z extrémních hodnot. Z matematického hlediska je to modelováno pomocí funkce f (x) známé jako hustota pravděpodobnosti.

Pravděpodobnost, že míra L je mezi aab je vypočtena pomocí určitého integrálu funkce f (x) mezi aab.

Předpokládejme například, že chceme najít funkci f (x), která představuje rovnoměrné rozdělení hodnot 4.9 a 5.1 z cvičení 1.

Pokud je rozdělení pravděpodobnosti rovnoměrné, pak f (x) se rovná konstantě c, která se stanoví integrálem mezi 4,9 a 5,1 c. Protože tento integrál je pravděpodobnost, musí být výsledek 1.

Obrázek 2. Jednotná hustota pravděpodobnosti. (Vlastní zpracování)

To znamená, že c má hodnotu 1 / 0,2 = 5. To znamená, že rovnoměrná funkce hustoty pravděpodobnosti je f (x) = {5, pokud je mimo tento rozsah 4,9 <x <5,1 a 0. Jednotná funkce hustoty pravděpodobnosti je znázorněna na obrázku 2.

Všimněte si, že v intervalech stejné šířky (například 0,02) je pravděpodobnost stejná ve středu jako na konci rozsahu spojité proměnné L (délka párátka).

Realističtějším modelem by byla funkce hustoty pravděpodobnosti, jako je tato:

Obrázek 3. Nejednotná funkce hustoty pravděpodobnosti. (Vlastní zpracování)

Na obrázku 3 je vidět, jak je pravděpodobnost nalezení párátka mezi 4,99 a 5,01 (šířka 0,02) větší než pravděpodobnost nalezení párátka mezi 4,90 a 4,92 (šířka 0,02)

Reference

1. Dinov, Ivo. Diskrétní náhodné proměnné a rozdělení pravděpodobnosti. Citováno z: stat.ucla.edu
2. Diskrétní a spojité náhodné proměnné. Citováno z: ocw.mit.edu
3. Diskrétní náhodné proměnné a rozdělení pravděpodobnosti. Citováno z: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Úvod do pravděpodobnosti. Obnoveno z: pravděpodobnost course.com
5. Mendenhall, W. 1978. Statistiky pro management a ekonomiku. Grupo Editorial Iberoamericana. 103-106.
6. Problémy s náhodnými proměnnými a pravděpodobnostní modely. Obnoveno z: ugr.es.
7. Wikipedia. Nepřetržitá proměnná. Obnoveno z wikipedia.com
8. Wikipedia. Statistická proměnná. Obnoveno z wikipedia.com.