PRAVDĚPODOBNOSTNÍ AXIOMY: TYPY, VYSVĚTLENÍ, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - DUDAS - 2025

Tyto axiomy pravděpodobnosti jsou matematické výroky týkající se teorie pravděpodobnosti, který nezaslouží důkaz. Axiomy byly založeny v roce 1933 ruským matematikem Andreim Kolmogorovem (1903-1987) v jeho Základech teorie pravděpodobnosti a položily základy pro matematické studium pravděpodobnosti.

Při provádění určitého náhodného experimentu ξ je vzorkovací prostor E souborem všech možných výsledků experimentu, nazývaných také události. Každá událost je označena jako A a P (A) je pravděpodobnost jejího výskytu. Kolmogorov pak zjistil, že:

Obrázek 1. Axiomy pravděpodobnosti nám umožňují vypočítat pravděpodobnost zasažení náhodných her, jako je ruleta. Zdroj: Pixabay.

- Axiom 1 (nezápornost): pravděpodobnost, že nastane jakákoli událost A, je vždy kladná nebo nulová, P (A) ≥0. Pokud je pravděpodobnost události 0, nazývá se to nemožnou událostí.

- Axiom 2 (jistota): kdykoli nějaká událost patřící do E, její pravděpodobnost výskytu je 1, kterou můžeme vyjádřit jako P (E) = 1. Toto je známé jako určitá událost, protože při provádění experimentu je určitě výsledek.

- Axióm 3 (adice): v případě dvou nebo více nekompatibilních událostí po dvou, která se nazývá ₁, A ₂, A ₃…, pravděpodobnost, že jev A ₁ plus ₂ plus _{3 se} vyskytují, a tak dále postupně je to součet pravděpodobností každého děje zvlášť.

Toto je vyjádřeno jako: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁) + P (A ₂) + P (A ₃) +…

Obrázek 2. Pozoruhodný ruský matematik Andrei Kolmogorov (1903-1987), který položil základy axiomatické pravděpodobnosti. Zdroj: Wikimedia Commons.

Příklad

Axiomy pravděpodobnosti jsou široce používány v mnoha aplikacích. Například:

Do vzduchu se vrhne připínáček nebo připínáček, a když spadne na zem, existuje možnost přistání s bodem nahoru (U) nebo s bodem dolů (D) (nebudeme zvažovat další možnosti). Vzorový prostor pro tento experiment sestává z těchto událostí, pak E = {U, D}.

Obrázek 3. V experimentu s házením cvočku jsou dvě události různé pravděpodobnosti: přistání s bodem nahoru nebo k zemi. Zdroj: Pixabay.

Použitím axiomů máme:

Pokud je stejně pravděpodobné, že přistane nahoru nebo dolů, P (U) = P (D) = ½ (Axiom 1). Konstrukce a konstrukce připínáčku však může způsobit, že padne tak či onak. Může se například jednat o to, že P (U) = ¾, zatímco P (D) = ¼ (Axiom 1).

Všimněte si, že v obou případech součet pravděpodobností dává 1. Axiomy však neukazují, jak přiřadit pravděpodobnosti, alespoň ne úplně. Uvádějí však, že se jedná o čísla mezi 0 a 1 a že, jako v tomto případě, součet všech je 1.

Způsoby přiřazení pravděpodobnosti

Axiomy pravděpodobnosti nejsou metodou přiřazování hodnoty pravděpodobnosti. K tomu existují tři možnosti, které jsou kompatibilní s axiomy:

Laplaceovo pravidlo

Každému je přiřazena stejná pravděpodobnost výskytu, pak je pravděpodobnost výskytu definována jako:

Jaká je například pravděpodobnost vylosování esa z balíčku francouzských karet? Balíček má 52 karet, 13 z každé barvy a 4 barvy. Každý oblek má 1 esa, takže celkem jsou 4 esa:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

Laplaceovo pravidlo je omezeno na omezené vzorkové prostory, kde je každá událost stejně pravděpodobná.

Relativní frekvence

Zde musí být experiment opakovatelný, protože metoda je založena na provádění velkého počtu opakování.

Udělejme opakování experimentu of, u kterého zjistíme, že n je počet výskytů určité události A, pravděpodobnost, že k této události dojde, je:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Kde n / i je relativní frekvence události.

Definování P (A) tímto způsobem vyhovuje Kolmogorovým axiomům, má však tu nevýhodu, že pro pravděpodobnost musí být provedeno mnoho testů.

Subjektivní metoda

Osoba nebo skupina lidí se mohou dohodnout na přiřazení pravděpodobnosti události na základě vlastního úsudku. Nevýhodou této metody je, že různí lidé mohou ke stejné události přiřadit různé pravděpodobnosti.

Cvičení vyřešeno

V experimentu, který současně hodí 3 poctivé mince, získejte pravděpodobnost popsaných událostí:

a) 2 hlavy a ocas.

b) 1 hlava a dva ocasy

c) 3 kříže.

d) Alespoň jedna tvář.

Řešení

Hlavy jsou označeny C a ocasy X. Ale existuje několik způsobů, jak získat dvě hlavy a ocas. Například první dvě mince mohou vykládat hlavy a třetí mohou vykládat ocasy. Nebo první mohou spadnout hlavy, druhé ocasy a třetí hlavy. A konečně první mohou být ocasy a zbývající hlavy.

Pro zodpovězení otázek je nutné znát všechny možnosti, které jsou popsány v nástroji zvaném stromový diagram nebo strom pravděpodobnosti:

Obrázek 4. Stromový diagram pro současné promíchání tří poctivých mincí. Zdroj: F. Zapata.

Pravděpodobnost, že jakákoli mince bude hlavami, je ½, totéž platí pro ocasy, protože mince je čestná. V pravém sloupci jsou uvedeny všechny možnosti, které má hod, tj. Vzorový prostor.

Ze vzorového prostoru jsou vybrány kombinace, které reagují na požadovanou událost, protože pořadí, ve kterém se objeví tváře, není důležité. Existují tři příznivé události: CCX, CXC a XCC. Pravděpodobnost každé události se stane:

P (CCX) = 1/2. ½. ½ = 1/8

Totéž se stane pro události CXC a XCC, každá z nich má pravděpodobnost 1/8. Pravděpodobnost získání přesně 2 hlav je tedy součtem pravděpodobností všech příznivých událostí:

P (2-stranný) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

B. Řešení

Nalezení pravděpodobnosti, že nastanou přesně dva kříže, je problémem analogickým s předchozím, existují také tři příznivé události z prostoru vzorku: CXX, XCX a XXC. Tím pádem:

P (2 kříže) = 3/8 = 0,375

Řešení c

Intuitivně víme, že pravděpodobnost získání 3 ocasů (nebo 3 hlav) je nižší. V tomto případě je hledanou událostí XXX na konci pravého sloupce, jehož pravděpodobnost je:

P (XXX) = 1/2. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Řešení d

Je požadováno získat alespoň 1 plochu, to znamená, že mohou vyjít 3 plochy, 2 plochy nebo 1 plocha. Jediná neslučitelná událost s tím je ta, ve které vyjdou 3 ocasy, jejichž pravděpodobnost je 0,125. Hledaná pravděpodobnost je tedy:

P (alespoň 1 hlava) = 1 - 0,125 = 0,875.

Reference

1. Canavos, G. 1988. Pravděpodobnost a statistika: Aplikace a metody. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Pravděpodobnost a statistika pro inženýrství a vědu. 8. Edice. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Pravděpodobnost. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teorie pravděpodobnosti. Redakční Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Pravděpodobnost a statistika pro inženýrství a vědy. Pearson.