PRUŽNÉ ŠOKY: V JEDNÉ DIMENZI, SPECIÁLNÍ PŘÍPADY, CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Tyto elastické kolize nebo pružné kolize jsou krátké, ale intenzivní interakce mezi objekty, ve kterých jak hybnost a kinetická energie jsou zachovány. Havárie jsou v přírodě velmi časté události: od subatomárních částic po galaxie, kulečníkové koule a nárazníková vozidla v zábavních parcích, to vše jsou objekty schopné srážky.

Během kolize nebo srážky jsou síly interakce mezi objekty velmi silné, mnohem více než síly, které mohou působit externě. Tímto způsobem lze konstatovat, že během srážky tvoří částice izolovaný systém.

Kolize kulečníkových koulí lze považovat za elastické. Zdroj: Pixabay.

V tomto případě je pravda, že:

Hybnost P _o před srážkou je stejná jako po srážce. To platí pro jakýkoli typ kolize, elastický i nepružný.

Nyní zvažte následující: Během kolize objekty podléhají určité deformaci. Když je náraz pružný, objekty se rychle vracejí do původního tvaru.

Zachování kinetické energie

Normálně se při nárazu část energie předmětů utrácí na teplo, deformaci, zvuk a někdy dokonce na produkci světla. Kinetická energie systému po srážce je tedy menší než původní kinetická energie.

Když je kinetická energie K zachována, pak:

Což znamená, že síly působící během srážky jsou konzervativní. Během kolize je kinetická energie krátce přeměněna na potenciální energii a poté zpět na kinetickou energii. Příslušné kinetické energie se liší, ale součet zůstává konstantní.

Dokonale elastické srážky jsou vzácné, i když kulečníkové koule jsou poměrně dobrou aproximací, stejně jako srážky, ke kterým dochází mezi ideálními molekulami plynu.

Pružné šoky v jedné dimenzi

Podívejme se na kolizi dvou částic v jedné dimenzi; to znamená, že interagující částice se pohybují, řekněme, podél osy x. Předpokládejme, že mají hmotnosti m ₁ a ₂. Počáteční rychlosti každého z nich jsou u _{1 respektive} u ₂. Konečné rychlosti jsou v ₁ a v ₂.

Můžeme se obejít bez vektorového zápisu, protože pohyb je prováděn podél osy x, ale značky (-) a (+) označují směr pohybu. Vlevo je konvenčně negativní a vpravo pozitivní.

-Formula pro elastické srážky

Pro množství pohybu

Pro kinetickou energii

Dokud jsou známy hmotnosti a počáteční rychlosti, lze rovnice přeskupit, aby se našly konečné rychlosti.

Problém je, že v zásadě je nutné provést trochu docela únavné algebry, protože rovnice pro kinetickou energii obsahují čtverce rychlostí, což činí výpočet trochu těžkopádným. Ideální by bylo najít výrazy, které je neobsahují.

Prvním je upustit od faktoru ½ a uspořádat obě rovnice tak, aby se objevilo záporné znaménko a hmotnosti by mohly být faktorovány:

Takto vyjádřeno:

Zjednodušení k odstranění čtverců rychlostí

Nyní musíme využít pozoruhodný součet součinů jeho rozdílem ve druhé rovnici, s níž získáme výraz, který neobsahuje čtverečky, jak bylo původně požadováno:

Dalším krokem je nahrazení první rovnice ve druhé:

A protože se termín m ₂ (v ₂ - u ₂) opakuje na obou stranách rovnosti, je tento termín zrušen a zůstává takto:

Nebo ještě lépe:

Konečné rychlosti v

Nyní máte dvě lineární rovnice, se kterými se snáze pracuje. Položíme je zpět pod sebe:

Násobení druhé rovnice m ₁ a přidání termínu k termínu je:

A je již možné vymazat v ₂. Například:

Zvláštní případy při elastických srážkách

Nyní, když jsou k dispozici rovnice pro konečné rychlosti obou částic, je čas analyzovat některé zvláštní situace.

Dvě stejné hmotnosti

V takovém případě m ₁ = m ₂ = moje:

Po srážce si částice jednoduše vymění své rychlosti.

Dvě stejné masy, z nichž jedna byla zpočátku v klidu

Opět m ₁ = m ₂ = m a za předpokladu u ₁ = 0:

Po srážce získává částice, která byla v klidu, stejnou rychlost jako částice, která se pohybovala, a to se zase zastaví.

Dvě různé masy, jedna z nich zpočátku v klidu

V tomto případě předpokládejme, že u ₁ = 0, ale hmotnosti se liší:

Co když m ₁ je mnohem větší než m ₂ ?

Stává se, že m _{1 je} stále v klidu a m ₂ se vrací stejnou rychlostí, s jakou dopadlo.

Koeficient restituce nebo Huygens-Newtonova pravidla

Dříve byl následující vztah mezi rychlostmi odvozen pro dva objekty v elastické kolizi: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁. Tyto rozdíly jsou relativní rychlosti před a po srážce. Obecně platí pro kolizi:

Koncept relativní rychlosti je nejlépe oceněn, pokud si čtenář představí, že je na jedné z částic a z této polohy pozoruje rychlost, s jakou se druhá částice pohybuje. Výše uvedená rovnice je přepsána takto:

Řešená cvičení

- Řešené cvičení 1

Kulečníková koule se pohybuje doleva rychlostí 30 cm / s, srazí se čelem s jinou identickou koulí, která se pohybuje doprava rychlostí 20 cm / s. Obě koule mají stejnou hmotnost a kolize je dokonale elastická. Najděte rychlost každé koule po nárazu.

Řešení

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

Toto je zvláštní případ, kdy se dvě identické hmoty pružně srazí v jedné dimenzi, proto se rychlosti mění.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

- Řešené cvičení 2

Koeficient restituce koule, která skáče po zemi, se rovná 0,82. Pokud spadne z klidu, jaký zlomek své původní výšky dosáhne míč po odrazu? A po 3 doskokech?

Míč odrazí z pevného povrchu a při každém odrazu ztrácí výšku. Zdroj: vlastní výroba.

Řešení

Půda může být objektem 1 v rovnici pro koeficient restituce. A vždy zůstává v klidu, takže:

S touto rychlostí odrazí:

Znaménko + znamená, že se jedná o vzestupnou rychlost. A podle toho míč dosáhne maximální výšky:

Nyní se vrací zpět na zem rychlostí stejné velikosti, ale opačným znaménkem:

Tím se dosáhne maximální výšky:

Vraťte se na zem pomocí:

Postupné odrazy

Pokaždé, když se míč odrazí a zvedne, znásobte rychlost znovu 0,82:

V tomto bodě h ₃ je o 30%: H _O. Jaká by byla výška 6. odrazu, aniž by bylo nutné provádět takové podrobné výpočty jako ty předchozí?

Bylo by h ₆ = 0,82 ¹² h _o = 0,092 h _o o pouhých 9% h _o.

- Řešené cvičení 3

300 g blok se pohybuje na sever rychlostí 50 cm / sa srazí s 200 g blokem směřujícím na jih rychlostí 100 cm / s. Předpokládejme, že šok je dokonale elastický. Najděte rychlosti po nárazu.

Data

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

- Řešené cvičení 4

Z indikovaného bodu na trati bez tření se uvolní hmotnost m ₁ = 4 kg, až se v klidu srazí s m ₂ = 10 kg. Jak vysoko stoupá m ₁ po kolizi?

Řešení

Protože nedochází k žádnému tření, je mechanická energie zachována pro nalezení rychlosti u _1, se kterou m ₁ zasáhne m _2. Zpočátku je kinetická energie 0, protože m ₁ začíná od klidu. Když se pohybuje na vodorovném povrchu, nemá žádnou výšku, takže potenciální energie je 0.

Nyní se vypočte rychlost m ₁ po kolizi:

Záporné znaménko znamená, že bylo vráceno. S touto rychlostí stoupá a mechanická energie je znovu zachována, aby našla h ', výšku, do které dokáže po kolizi stoupat:

Všimněte si, že se nevrací do výchozího bodu ve výšce 8 m. Nemá dostatek energie, protože hmota m ₁ se vzdala části své kinetické energie .

Reference

1. Giancoli, D. 2006. Fyzika: Principy s aplikacemi. 6 ^th. Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Základy fyziky. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Základy fyziky. 9 ^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Fyzika pro vědu a technologii. Svazek 5. vydání 1. Redakční Reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Fyzika: Koncepty a aplikace. 7. vydání. MacGraw Hill. 185-195