POISSONŮV POMĚR: KOEFICIENT, VZORCE, HODNOTY, PŘÍKLADY - FYZICKÝ - 2025

Poisson je poměr je bezrozměrná veličina, charakteristické pro každý materiál. Je to údaj o deformaci kusu materiálu před působením určitých sil.

Když kus materiálu, který je vystaven tahu nebo stlačení, prochází deformací, poměr mezi příčnou deformací a podélnou deformací je přesně Poissonův poměr.

Obrázek 1. Poissonův poměr měří vztah mezi podélným roztažením a příčným zúžením. (Připravil Ricardo Pérez)

Například gumový válec, který je na koncích vystaven napětí, se táhne v podélném směru, ale zužuje se napříč. Obrázek 1 ukazuje tyč, jejíž původní rozměry jsou: délka L a průměr D.

Tyč je na svých koncích vystavena tahu T a v důsledku tohoto napětí se prodlužuje, takže nová délka je L '> L. Ale když je natažena, její průměr se také zužuje na novou hodnotu: D '<D.

Kvocient mezi úsekem (pozitivní) a zúžením (negativní) vynásobeným (-1) je kladné číslo mezi 0 a 0,5. Toto číslo je tzv. Poissonův poměr ν (řecké písmeno nu).

Poissonův poměrový vzorec

Pro výpočet Poissonova poměru je nutné stanovit podélné a příčné napětí.

Podélným napětím ε _L je roztažení děleno původní délkou:

e _L = (L '- L) / L

Podobně je příčné napětí ε _T radiální zúžení děleno původním průměrem:

e _T = (D '- D) / D

Poissonův poměr se proto počítá podle následujícího vzorce:

ν = - ε _T / ε _L

Vztah s modulem pružnosti a modulem tuhosti

Poissonův poměr ν souvisí s modulem E pružnosti (nebo Youngovým modulem) a modulem tuhosti G podle následujícího vzorce:

Poissonova poměrová hodnota pro materiály

Obrázek 2. Nerezová ocel má Poissonův poměr mezi 0,30 a 0,31. Zdroj: Pixabay.

Příklady výpočtu

Příklad 1

Tyč z určitého plastového materiálu má délku 150 mm a kruhový průřez o průměru 20 mm. Při působení stlačovací síly F 612,25 kg-f je pozorováno zkrácení 14 mm a současně zvýšení průměru tyče o 0,85 mm.

Vypočítat:

a) Podélné napětí.

b) Příčné napětí.

c) Poissonův poměr tohoto materiálu.

d) Youngův modul pružnosti odpovídající materiálu.

e) modul tuhosti pro tento plast.

Řešení

Připomeňme, že podélná deformace εL je úsek rozdělený původní délkou:

eL = (L '- L) / L

eL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Všimněte si, že podélné napětí je bezrozměrné, a v tomto případě bylo záporné, protože došlo k poklesu jeho podélného rozměru.

B. Řešení

Podobně je příčným napětím εT radiální zkosení děleno původním průměrem:

εT = (D '- D) / D

eT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Příčné přetvoření bylo pozitivní, protože došlo ke zvýšení průměru tyče.

Řešení c

Pro výpočet Poissonova poměru musíme mít na paměti, že je definován jako záporný podíl kvocientu mezi příčnou deformací a podélnou deformací:

ν = - εT / εL

v = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Je třeba si uvědomit, že Poissonův poměr je kladné bezrozměrné číslo a pro většinu materiálů je mezi 0 a 0,5.

Řešení d

Youngův modul pružnosti, označený písmenem E, je v Hookeově zákoně konstantou proporcionality. Podle E je normální napětí σL spojeno s kmenem εL takto:

σL = E εL

Normální napětí je definováno jako podíl mezi normální silou (v tomto případě rovnoběžnou s osou tyče) a plochou průřezu:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

V tomto cvičení je síla F 612,25 kg-f, která musí být převedena na newtony, což je síla SI:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6 000 N = 6 kN

Průřez oblastí A je:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Konečně normální napětí působící na tyč je:

σL = F / A = 6000 N / 3,1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19,098,593 Pa = 19,098 MPa

Pro výpočet Youngova modulu pružnosti řešíme E pro Hookův zákon σL = E εL:

E = σL / E = 19 098 593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa

E. Řešení

Modul tuhosti G souvisí s Youngovým modulem E a Poissonovým poměrem ν podle tohoto vzorce:

E / (2 G) = 1 + v

Odtud můžeme vyřešit G:

G = E / (2 (1 + v)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Příklad 2

K dispozici je měděný kabel o průměru 4 mm a 1 m dlouhý. S vědomím, že Youngův modul mědi je 110 000 MPa a že jeho Poissonův poměr je 0,34, odhadněte napnutí a zúžení průměru, kterému drát prochází, když na něj visí hmotnost 100 kg-f.

Řešení

Nejprve je třeba vypočítat normální tahové napětí, které na drátu působí váha, podle tohoto vzorce:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Síla F je 980 N a plocha průřezu je:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3,1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Pak je tahové napětí:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m2 = 77,986 000 Pa

Výpočet deformace drátu

Youngův modul pružnosti, označený písmenem E, je konstanta proporcionality podle Hookova zákona, která spojuje normální napětí σL s napětím εL:

σL = E εL

Odtud lze vyřešit podélné napětí měděného drátu:

eL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Výpočet příčného napětí

Na druhou stranu, abychom poznali příčné napětí, použije se Poissonův poměr:

ν = - εT / εL

Konečně, příčné napětí je:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Výpočet absolutního roztažení kabelu

Konečně, aby bylo možné znát absolutní roztažení kabelu, musí být použit následující vztah:

ΔL = εL * L = 7,09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7,09 * 10 ^ -4 m = 0,709 mm

To znamená, že s touto hmotností se kabel sotva protáhl 0,709 milimetru.

Výpočet snížení průměru

Pro získání absolutního smrštění v průměru používáme následující vzorec:

ΔD = eT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0 000964 milimetrů.

Toto zúžení průměru je tak malé, že je pouhým okem obtížně vidět, dokonce i jeho měření vyžaduje vysoce přesný přístroj.

Reference

1. Pivo F.. Mechanika materiálů. 5. Edice. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Mechanika materiálů. Osmé vydání. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mechanika materiálů. Osmé vydání. Cengage Learning. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Fyzika: Principy s aplikacemi. 6. ed. Prentice Hall. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Poznámky k obecné fyzice. UNAM. 87-98.