SLOŽITÁ ČÍSLA: VLASTNOSTI, PŘÍKLADY, OPERACE - MATEMATIKA - 2025

Tyto komplexní čísla jsou číselná který pokrývá reálná čísla a všechny kořeny polynomů, včetně páry kořenů záporných čísel. Tyto kořeny neexistují v sadě reálných čísel, ale v komplexních číslech existuje řešení.

Složité číslo se skládá ze skutečné části a části zvané „imaginární“. Skutečná část se nazývá například a imaginární část ib, se skutečnými čísly aab a „i“ jako imaginární jednotka. Takto má komplexní číslo podobu:

Obrázek 1. - Binomické znázornění komplexního čísla z hlediska skutečné části a imaginární části. Zdroj: Pixabay.

Příklady komplexních čísel jsou 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Než s nimi začneme pracovat, podívejme se, odkud imaginární jednotka I pochází, vezmeme-li v úvahu tuto kvadratickou rovnici:

x ² - 10x + 34 = 0

Ve kterém a = 1, b = -10 a c = 34.

Při použití rozlišovacího vzorce k určení řešení najdeme následující:

Jak zjistit hodnotu √-36? Neexistuje žádné skutečné číslo, které na druhou produkuje záporné množství. Poté se dochází k závěru, že tato rovnice nemá reálná řešení.

Můžeme však napsat:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Pokud definujeme určitou hodnotu x tak, že:

x ² = -1

Tak:

x = ± √-1

A výše uvedená rovnice by měla řešení. Proto byla imaginární jednotka definována jako:

i = √-1

A tak:

√-36 = 6i

Mnoho matematiků starověku pracovalo na řešení podobných problémů, zejména renesanční Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) a Raffaele Bombelli (1526-1572).

O několik let později označil René Descartes (1596-1650) množství jako „imaginární“ jako √-36. Z tohoto důvodu je √-1 známý jako imaginární jednotka.

Vlastnosti komplexních čísel

- Sada komplexních čísel je označena jako C a zahrnuje reálná čísla R a imaginární čísla Im. Číselné sady jsou znázorněny v Vennově diagramu, jak je znázorněno na následujícím obrázku:

Obrázek 2. Venn diagram číselných sad. Zdroj: F. Zapata.

-Všechny komplexní číslo se skládá ze skutečné části a imaginární části.

- Pokud je imaginární část komplexního čísla 0, jedná se o čisté reálné číslo.

-Je-li skutečná část komplexního čísla 0, pak je číslo čistě imaginární.

- Dvě komplexní čísla jsou stejná, pokud jsou jejich skutečná část a imaginární část stejná.

- S komplexními čísly jsou prováděny známé operace sčítání, odčítání, násobení, produktu a vylepšení, což má za následek další komplexní číslo.

Reprezentace komplexních čísel

Složitá čísla mohou být reprezentována různými způsoby. Zde jsou hlavní:

- Binomická podoba

Je to forma daná na začátku, kde z je komplexní číslo, a je skutečná část, b je imaginární část a i je imaginární jednotka:

Nebo také:

Jedním ze způsobů, jak grafovat komplexní číslo, je složitá rovina znázorněná na tomto obrázku. Imaginární osa Im je svislá, zatímco skutečná osa je vodorovná a je označena jako Re.

Komplexní číslo z je v této rovině reprezentováno jako bod souřadnic (x, y) nebo (a, b), jako je tomu u bodů skutečné roviny.

Vzdálenost od počátku k bodu z je modul komplexního čísla, označený jako r, zatímco φ je úhel, který činí r se skutečnou osou.

Obrázek 3. Reprezentace komplexního čísla v komplexní rovině. Zdroj: Wikimedia Commons.

Tato reprezentace úzce souvisí s reprezentací vektorů v reálné rovině. Hodnota r odpovídá modulu komplexního čísla.

- Polární tvar

Polární forma spočívá v vyjádření komplexního čísla udáním hodnot r a φ. Podíváme-li se na obrázek, hodnota r odpovídá přetížení pravého trojúhelníku. Nohy mají hodnotu aab, nebo x a y.

Z binomické nebo binomické formy se můžeme přesunout do polární formy:

Úhel φ je úhel tvořený segmentem r s vodorovnou osou nebo imaginární osou. Je znám jako argument komplexního čísla. Takto:

Tento argument má nekonečné hodnoty, přičemž se bere v úvahu, že pokaždé, když se otočí, což má hodnotu 2π radiánů, r opět zaujímá stejnou pozici. Obecně se argument z, označený jako Arg (z), vyjadřuje takto:

Kde k je celé číslo a používá se k označení počtu otáček: 2, 3, 4…. Značka označuje směr otáčení, pokud je ve směru nebo proti směru hodinových ručiček.

Obrázek 4. Polární reprezentace komplexního čísla v komplexní rovině. Zdroj: Wikimedia Commons.

A pokud chceme jít z polární formy do binomické formy, použijeme trigonometrické poměry. Z předchozího obrázku vidíme, že:

x = r cos φ

y = r hřích φ

Tímto způsobem z = r (cos φ + i sin φ)

Což je zkráceno takto:

z = r cis φ

Příklady složitých čísel

Následující komplexní čísla jsou uvedena v binomické podobě:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

A to ve formě objednaného páru:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Nakonec je tato skupina uvedena v polární nebo trigonometrické formě:

a) -2 cis 45 °

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315 °

Na co jsou?

Užitečnost komplexních čísel přesahuje řešení kvadratické rovnice ukázané na začátku, protože jsou zásadní v oblasti strojírenství a fyziky, zejména v:

- Studium elektromagnetických vln

-Analýza střídavého proudu a napětí

- Modelování všech druhů signálů

- Teorie relativity, kde se čas považuje za imaginární velikost.

Komplexní operace s čísly

Se složitými čísly můžeme provádět všechny operace, které se provádějí se skutečnými. Někteří jsou snadnější dělat, když čísla přijdou v binomické formě, takový jako sčítání a odčítání. Naproti tomu multiplikace a dělení jsou jednodušší, pokud jsou prováděny s polární formou.

Uvidíme několik příkladů:

- Příklad 1

Přidat z ₁ = 2 + 5i a z ₂ = -3 -8i

Řešení

Skutečné části se přidávají odděleně od imaginárních částí:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Příklad 2

Vynásobte z ₁ = 4 cis 45º a z ₂ = 5 cis 120º

Řešení

Lze ukázat, že součin dvou komplexních čísel v polární nebo trigonometrické podobě je dán:

z ₁. z ₂ = r ₁.r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂)

Podle tohoto:

z ₁. Z ₂ = (4 x 5), cis (45 + 120) = 20 cis 165º

aplikace

Jednoduchá aplikace složitých čísel spočívá v nalezení všech kořenů polynomiální rovnice jako na začátku článku.

V případě rovnice x ² - 10x + 34 = 0, při použití rozlišovacího vzorce získáme:

Řešení jsou proto:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Reference

1. Earl, R. Složitá čísla. Obnoveno z: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1.. Diverzifikován. Vydání CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Výběr témat matematiky. Monfort Publications.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Složitá čísla. Obnoveno z: en.wikipedia.org