SARRUSOVO PRAVIDLO: Z ČEHO SE SKLÁDÁ A DRUHY DETERMINANTŮ - KULTURNÍ SLOVNÍK - 2026

Pravidlo Sarrus se používá k výpočtu výsledku 3 x 3 determinanty. Používají se k řešení lineárních rovnic a ke zjištění, zda jsou kompatibilní.

Kompatibilní systémy usnadňují získání řešení. Používají se také k určení, zda sady vektorů jsou lineárně nezávislé a tvoří základ vektorového prostoru.

Tyto aplikace jsou založeny na invertibilitě matic. Je-li matice pravidelná, její determinant se liší od 0. Pokud je singulární, její determinant je roven 0. Determinanty lze vypočítat pouze ve čtvercových maticích.

Pro výpočet matic libovolného řádu lze použít Laplaceova věta. Tato věta nám umožňuje zjednodušit matice vysokých dimenzí v součtech malých determinant, které rozkládáme z hlavní matice.

Uvádí, že determinant matice je roven součtu produktů každého řádku nebo sloupce, násobku determinantu sousední matice.

Toto redukuje determinanty tak, že determinant stupně n se stává n determinanty n-1. Pokud použijeme toto pravidlo postupně, můžeme získat determinanty dimenze 2 (2 × 2) nebo 3 (3 × 3), kde je jejich výpočet mnohem jednodušší.

Sarrusovo pravidlo

Pierre Frederic Sarrus byl francouzský matematik 19. století. Většina jeho matematických pojednání je založena na metodách řešení rovnic a počtu variací v rámci numerických rovnic.

V jednom ze svých pojednání vyřešil jednu z nejsložitějších hádanek v mechanice. K vyřešení problémů kloubových kusů zavedla Sarrus transformaci alternativních přímočarých pohybů, rovnoměrnými kruhovými pohyby. Tento nový systém se nazývá Sarrusův mechanismus.

Výzkum, který dal tomuto matematikovi nejvíce slávy, byl v tom, že zavedl novou metodu výpočtu determinantů, v článku „Nová metoda řešení rovnic“, která byla zveřejněna v rok 1833. Tento způsob řešení lineárních rovnic se nazývá Sarrusovo pravidlo.

Sarrusovo pravidlo umožňuje vypočítat determinant matice 3 × 3, aniž by bylo nutné použít Laplaceova věta, což představuje mnohem jednodušší a intuitivnější metodu. Abychom zkontrolovali hodnotu Sarrusova pravidla, vezmeme jakoukoli matici dimenze 3:

Výpočet jeho determinantu by byl proveden s použitím součinu jeho hlavních úhlopříček, odečtením součinu inverzních úhlopříček. To by bylo následující:

Sarrusovo pravidlo nám umožňuje získat mnohem jednodušší vidění při výpočtu úhlopříček determinantu. Zjednodušilo by to přidáním prvních dvou sloupců na zadní stranu matice. Tímto způsobem je pro výpočet produktu jasněji vidět, které jsou jeho hlavní úhlopříčky a které jsou inverzní.

Na tomto obrázku vidíme aplikaci Sarrusova pravidla, zahrnujeme řádek 1 a 2, pod grafické znázornění počáteční matice. Tímto způsobem jsou hlavní úhlopříčky tři úhlopříčky, které se objevují jako první.

Tři zadní úhlopříčky jsou zase ty, které se objevují jako první vzadu.

Tímto způsobem se diagonály objevují vizuálnějším způsobem, aniž by komplikovaly rozlišení determinantu a snažily se zjistit, které prvky matice patří do každé diagonály.

Jak je na obrázku, vybereme úhlopříčky a vypočítáme výsledný součin každé funkce. Diagonály, které se objevují modře, se sčítají. K jejich součtu odečteme hodnotu úhlopříček, které se objeví červeně.

Pro snazší kompresi můžeme použít numerický příklad místo použití algebraických termínů a subtermů.

Pokud vezmeme například jakoukoli matici 3 × 3, například:

Abychom použili Sarrusovo pravidlo a vyřešili ho vizuálnějším způsobem, měli bychom zařadit řádek 1 a 2 jako řádek 4 a 5. Je důležité udržovat řadu 1 ve 4. pozici a řadu 2 v páté poloze. Protože pokud si je vyměníme, Sarrusovo pravidlo nebude účinné.

Pro výpočet determinantu by naše matice byla následující:

Abychom mohli pokračovat ve výpočtu, znásobíme prvky hlavní úhlopříčky. Potomci začínající zleva budou mít pozitivní znamení; zatímco inverzní úhlopříčky, které začínají zprava, mají negativní znaménko.

V tomto příkladu by modré měly pozitivní znaménko a červené s negativním znamením. Konečný výpočet Sarrusova pravidla by vypadal takto:

Typy determinantů

Determinant dimenze 1

Pokud je rozměr matice 1, vypadá matice takto: A = (a)

Jeho určující činitel by tedy byl následující: det (A) = -A- = a

V souhrnu je determinant matice A roven absolutní hodnotě matice A, což je v tomto případě a.

Determinant dimenze 2

Pokud předáme matice dimenze 2, dostaneme matice typu:

Kde je jeho determinant definován jako:

Rozlišení tohoto determinantu je založeno na znásobení jeho hlavní úhlopříčky a odečte součin jeho inverzní úhlopříčky.

Jako mnemotechniku ​​si můžeme pomocí následujícího schématu zapamatovat její determinant:

Determinant dimenze 3

Pokud je rozměr matice 3, výsledná matice by byla tohoto typu:

Determinant této matice by byl vyřešen Sarrusovým pravidlem takto:

Reference

1. Jenny Olive (1998) Maths: Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30sekundové matematiky: 50 nejrozšířenějších teorií rozšiřujících mysl v matematice. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) Studie o výpočtu determinant matice 3 × 3. Lap Lambert Academic Publishing.
5. Anthony Nicolaides (1994) Determinanty a matice. Pass publikace.
6. Jesse Russell (2012) Rule of Sarrus.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Úvod do lineární algebry. ESIC Editorial.