TESELACE: CHARAKTERISTIKA, TYPY (PRAVIDELNÉ, NEPRAVIDELNÉ), PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Tyto obklady jsou potažené povrchy jeden nebo více údajů zvané mozaikové kameny. Jsou všude: v ulicích a budovách všeho druhu. Dlaždice nebo dlaždice jsou ploché kusy, obvykle mnohoúhelníky se shodnými nebo izometrickými kopiemi, které jsou umístěny podle pravidelného vzoru. Tímto způsobem nezůstanou odkryty žádné mezery a dlaždice nebo mozaiky se nepřekrývají.

V případě, že je použit jeden typ mozaiky tvořené pravidelným mnohoúhelníkem, pak je zde pravidelná teselace, ale pokud jsou použity dva nebo více typů pravidelných polygonů, pak je to polopravidelná teselace.

Obrázek 1. Dlaždice s nepravidelnou teselací, protože obdélníky jsou nepravidelné polygony, i když čtverce jsou. Zdroj: Pixabay.

Nakonec, když polygony, které formy teselace nejsou pravidelné, je to nepravidelná teselace.

Nejběžnějším typem teselace je pravoúhlá a zejména čtvercová mozaika. Na obrázku 1 máme dobrý příklad.

Historie teselace

Teselace se používá po tisíce let k pokrytí podlah a zdí paláců a chrámů různých kultur a náboženství.

Například sumerská civilizace, která vzkvétala kolem roku 3500 před naším letopočtem jižně od Mezopotámie, mezi řekami Eufrat a Tigris, používala ve své architektuře teselace.

Obrázek 2. Sumerské teselace u brány Istar. Zdroj: Wikimedia Commons.

Teselace také vyvolaly zájem matematiků všech věkových skupin: počínaje Archimedesem ve 3. století před naším letopočtem, poté Johannesem Keplerem v roce 1619, Camille Jordanem v roce 1880, až po současnost s Rogerem Penroseem.

Penrose vytvořil neperiodickou tessellation známý jako Penrose tessellation. Toto je jen několik jmen vědců, kteří hodně přispěli k teselaci.

Pravidelné teselace

Pravidelné teselace jsou prováděny pouze s jedním typem pravidelného mnohoúhelníku. Na druhou stranu, aby se teselace považovala za pravidelnou, musí každý bod roviny:

- Patří do vnitřku mnohoúhelníku

- Nebo k okraji dvou sousedních polygonů

- Konečně může patřit do společného vrcholu alespoň tří polygonů.

S výše uvedenými omezeními lze ukázat, že pravidelnou teselaci mohou tvořit pouze rovnostranné trojúhelníky, čtverce a šestiúhelníky.

Nomenklatura

Existuje nomenklatura označující teselace, která sestává ze seznamu ve směru hodinových ručiček a oddělených bodem, počtem stran polygonů, které obklopují každý uzel (nebo vrchol) teselace, vždy začínající polygonem s nejnižším číslem strany.

Tato nomenklatura se vztahuje na pravidelné a polopravidelné teselace.

Příklad 1: Trojúhelníková teselace

Obrázek 3 ukazuje pravidelnou trojúhelníkovou teselaci. Je třeba poznamenat, že každý uzel trojúhelníkové teselace je společným vrcholem šesti rovnostranných trojúhelníků.

Způsob, jak označit tento typ teselace, je 3.3.3.3.3.3, což je také označeno 3 ⁶.

Obrázek 3. Pravidelná trojúhelníková teselace 3.3.3.3.3.3. Zdroj: wikimedia commons

Příklad 2: Čtvercová teselace

Obrázek 4 ukazuje pravidelnou teselaci složenou pouze ze čtverců. Je třeba poznamenat, že každý uzel v teselace je obklopen čtyřmi shodnými čtverci. Zápis, který se používá pro tento typ čtvercové teselace, je: 4.4.4.4 nebo alternativně 4 ⁴

Obrázek 4. Čtvercová teselace 4.4.4.4. Zdroj: wikimedia commons.

Příklad 3: Šestihranná teselace

V hexagonální teselaci je každý uzel obklopen třemi pravidelnými šestiúhelníky, jak je znázorněno na obrázku 5. Nomenklatura pro pravidelnou hexagonální teselaci je 6.6.6 nebo alternativně 6 ³.

Obrázek 5. Šestihranná teselace 6.6.6. Zdroj: wikimedia commons.

Polopravidelné teselace

Polopravidelné nebo archimedovské teselace se skládají ze dvou nebo více typů pravidelných mnohoúhelníků. Každý uzel je obklopen typy polygonů, které tvoří teselaci, vždy ve stejném pořadí, a okrajový stav je zcela sdílen se sousedem.

Existuje osm polopravidelných teselací:

1. 3.6.3.6 (trihexagonální teselace)
2. 3.3.3.3.6 (tupá šestihranná teselace)
3. 3.3.3.4.4 (protáhlá trojúhelníková teselace)
4. 3.3.4.3.4 (tupé čtvercové tupé hrany)
5. 3.4.6.4 (kosočtverec-tri-hexagonální teselace)
6. 4.8.8 (zkrácená čtvercová teselace)
7. 3.12.12 (zkrácená hexagonální teselace)
8. 4.6.12 (zkrácená trihexagonální teselace)

Níže jsou uvedeny některé příklady polopravidelných teselací.

Příklad 4: Trojhexagonální teselace

Je to ten, který je složen z rovnostranných trojúhelníků a pravidelných šestiúhelníků ve struktuře 3.6.3.6, což znamená, že uzel teselace je obklopen (do dokončení jednoho otočení) trojúhelníkem, šestiúhelníkem, trojúhelníkem a šestiúhelníkem. Obrázek 6 ukazuje takovou teselaci.

Obrázek 6. Trojhexagonální teselace (3.6.3.6) je příkladem polopravidelné teselace. Zdroj: Wikimedia Commons.

Příklad 5: Tupé šestihranné teselace

Stejně jako teselace v předchozím příkladu, i tato sestává z trojúhelníků a šestiúhelníků, ale jejich rozložení kolem uzlu je 3.3.3.3.6. Obrázek 7 jasně ilustruje tento typ teselace.

Obrázek 7. Tupý šestiúhelníkový teselace se skládá z šestiúhelníku obklopeného 16 trojúhelníky v konfiguraci 3.3.3.3.6. Zdroj: Wikimedia Commons.

Příklad 6: kosočtverec-tri-hexagonální teselace

Jedná se o teselaci sestávající z trojúhelníků, čtverců a šestiúhelníků v konfiguraci 3.4.6.4, která je znázorněna na obrázku 8.

Obrázek 8. Polopravidelná teselace složená z trojúhelníku, čtverce a šestiúhelníku v konfiguraci 3.4.6.4. Zdroj: Wikimedia Commons.

Nepravidelné teselace

Nepravidelné teselace jsou ty, které jsou tvořeny nepravidelnými polygony nebo pravidelnými polygony, ale které nesplňují kritérium, že uzel je vrcholem nejméně tří polygonů.

Příklad 7

Obrázek 9 ukazuje příklad nepravidelné teselace, ve které jsou všechny polygony pravidelné a shodné. Je nepravidelný, protože uzel není společným vrcholem nejméně tří čtverců a jsou zde také sousední čtverce, které zcela nesdílejí hranu.

Obrázek 9. I když jsou všechny dlaždice shodnými čtverci, je to jasný příklad nepravidelné teselace. Zdroj: F. Zapata.

Příklad 8

Rovnoběžník pokládá rovnou plochu, ale pokud to není čtverec, nemůže tvořit pravidelnou teselaci.

Obrázek 10. Teselace vytvořená rovnoběžníky je nepravidelná, protože její mozaiky jsou nepravidelné polygony. Zdroj: F. Zapata.

Příklad 9

Nepravidelné šestiúhelníky s centrální symetrií tessellate rovnou plochu, jak je ukázáno na následujícím obrázku:

Obrázek 11. Šestiúhelníky s centrální symetrií, i když nejsou pravidelné, tessellate rovinu. Zdroj: F. Zapata.

Příklad 10: teselace Káhiry

Je to velmi zajímavá teselace složená z pětiúhelníků se stranami stejné délky, ale s nerovnými úhly, z nichž dva jsou rovné a ostatní tři mají 120 °.

Její název vychází ze skutečnosti, že se tato teselace nachází v chodníku některých ulic Káhiry v Egyptě. Obrázek 12 ukazuje teselaci Káhiry.

Obrázek 12. Káhira Tessellation. Zdroj: Wikimedia Commons.

Příklad 11: Teselace Al-Andalus

Teselace v některých částech Andalusie a severní Afriky se vyznačuje geometrií a epigrafií, kromě ozdobných prvků, jako je vegetace.

Tessellation paláců takový jako to Alhambra byl tvořen dlaždic tvořených keramických kusů mnoha barev, s rozmanitými (jestliže ne nekonečný) tvary, které se uvolnily v geometrických vzorech.

Obrázek 13. Teselace paláce Alhambra. Tartaglia / public domain

Příklad 12: teselace ve videohrách

Také známý jako tesellation, to je jeden z nejpopulárnějších novinek ve videohrách. Jde o vytváření textur, které simulují teselaci různých scénářů, které se objevují na simulátoru.

To je jasný odraz toho, že se tyto povlaky stále vyvíjejí a překračují hranice reality.

Reference

1. Užijte si matematiku. Teselace. Obnoveno z: enjoymatematicas.com
2. Rubiños. Tessellation vyřešil příklady. Obnoveno z: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Demiregulární teselace." Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Teselace. Obnoveno z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Pravidelná teselace. Obnoveno z: es.wikipedia.com