KONJUGUJTE VNITŘNÍ A VNĚJŠÍ ÚHLY: PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2024

Tyto úhelníky konjugáty jsou přidány k výsledkům, aby bylo 360, bez ohledu na uvedené úhly jsou v blízkosti, nebo ne. Na obrázku 1 jsou znázorněny dva úhly konjugátu, označené a a p.

V tomto případě mají úhly a a p na obrázku společný vrchol a jejich strany jsou společné, proto sousedí. Vztah mezi nimi je vyjádřen takto:

a + β = 360 °

Obrázek 1. Dva sdružené středové úhly, součet. Zdroj: Wikimedia Commons. Nebyl poskytnut žádný strojově čitelný autor. Thiago R Ramos převzal (na základě nároků na autorská práva). Je to klasifikace úhlů podle jejich součtu. Další důležité definice zahrnují doplňkové úhly, jejichž součet je 90 °, a doplňkové úhly, které celkem 180 °.

Na druhou stranu se nyní podívejme na dvě rovnoběžné čáry řezané sekáčem, jehož uspořádání je znázorněno níže:

Obrázek 2. Rovnoběžné čáry řezané sečnicí. Zdroj: F. Zapata.

Čáry MN a PQ jsou rovnoběžné, zatímco čára RS je sečtená, protínající paralely ve dvou bodech. Jak je vidět, tato konfigurace určuje vytvoření 8 úhlů, které byly označeny malými písmeny.

Podle definice uvedené na začátku jsou úhly a, b, ca ad spojeny. A stejně tak jsou e, f, gah, protože oba případy jsou pravdivé:

a + b + c + d = 360 °

A

e + f + g + h = 360 °

Pro tuto konfiguraci jsou dva úhly sdruženy, pokud jsou na stejné straně vzhledem k secí linii RS a oba jsou vnitřní nebo vnější. V prvním případě mluvíme o vnitřních konjugovaných úhlech, zatímco ve druhém se jedná o externí konjugované úhly.

Příklady

Na obrázku 2 jsou vnější úhly ty, které jsou mimo oblast vymezenou čarami MN a PQ, jsou to úhly A, B, G a H. Zatímco úhly, které leží mezi těmito dvěma čarami, jsou C, D, E a F.

Nyní je třeba analyzovat, které úhly jsou nalevo a které vpravo od secantu.

Vlevo od RS jsou úhly A, C, E a G. A vpravo jsou úhly B, D, F a H.

Okamžitě přistoupíme ke stanovení párových úhlů párů podle definice uvedené v předchozí části:

-A a G, vnější a nalevo od RS.

-D a F, interní a vpravo od RS.

-B a H, vnější a vpravo od RS.

-C a E, vnitřní a nalevo od RS.

Vlastnost sdružených úhlů mezi rovnoběžnými čarami

Spojené úhly mezi rovnoběžnými čarami jsou doplňkové, to znamená, že jejich součet se rovná 180 °. Tímto způsobem platí pro obrázek 2 následující:

A + G = 180 °

D + F = 180 °

B + H = 180 °

C + E = 180 °

Dvojice odpovídajících úhlů pro rovnoběžné čáry

Jsou to ty, které jsou na stejné straně secantové linie, nesousedí a jeden z nich je vnitřní a druhý je vnější. Je důležité je vizualizovat, protože jejich míra je stejná, protože vrcholem jsou protilehlé úhly.

Vrátíme-li se k obrázku 2, jsou odpovídající dvojice úhlů označeny jako:

-A a E

-C a G

-B a F

-D a H

Vnitřní úhly čtyřúhelníku

Čtyřúhelníky jsou čtyřstranné polygony, mezi nimi například čtverec, obdélník, lichoběžník, rovnoběžník a kosočtverec. Bez ohledu na jejich tvar je v kterémkoli z nich pravda, že součet jejich vnitřních úhlů je 360 ​​°, proto splňují definici uvedenou na začátku.

Podívejme se na některé příklady čtyřúhelníků a jak vypočítat hodnotu jejich vnitřních úhlů podle informací v předchozích oddílech:

Příklady

a) Tři úhly čtyřúhelníku měří 75 °, 110 ° a 70 °. Kolik by měl zbývající úhel měřit?

b) Najděte hodnotu úhlu ∠Q na obrázku 3 i.

c) Vypočtěte míru úhlu ∠A na obrázku 3 ii.

Řešení

Nechť α je chybějící úhel, je uspokojeno, že:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

B. Řešení

Na obrázku 3i je lichoběžník a dva z jeho vnitřních úhlů jsou pravé, které byly v rozích označeny barevným čtverečkem. Pro tento čtyřúhelník se ověřuje následující:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360 °; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

Tím pádem:

∠ Q = 2 x 90 ° + 60 ° = 240 °

Řešení c

Quadrilateral na obrázku 3 ii je také lichoběžník, pro který platí následující:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360 °

Tím pádem:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

K určení úhlu požadovaného v příkazu použijeme, že ∠A = 4x - 5. Nahrazení dříve vypočítané hodnoty x znamená, že ∠A = (4 × 25) -5 = 95 °

Cvičení

- Cvičení 1

S vědomím, že jeden z uvedených úhlů je 125 °, najděte míry zbývajících 7 úhlů na následujícím obrázku a zdůvodněte odpovědi.

Obrázek 4. Čáry a úhly cvičení 1. Zdroj: F. Zapata.

Řešení

Úhel 6 a úhel 125 ° jsou vnitřní konjugáty, jejichž součet je 180 °, podle vlastnosti sdružených úhlů:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

Na druhé straně ∠6 a ∠8 jsou protilehlé úhly vrcholem, jehož míra je stejná. Proto ∠8 měří 55 °.

Úhel ∠1 je také protilehlý vrcholem při 125 °, pak můžeme potvrdit, že =1 = 125 °. Můžeme se také odvolat na skutečnost, že odpovídající dvojice úhlů mají stejnou míru. Na obrázku jsou tyto úhly:

7 = 125 °

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

4 = 8 = 55 °

- Cvičení 2

Najděte hodnotu x na následujícím obrázku a hodnoty všech úhlů:

Obrázek 5. Čáry a úhly cvičení 2. Zdroj: F. Zapata.

Řešení

Protože se jedná o odpovídající páry, znamená to, že F = 73 °. A na druhé straně je součet konjugovaných párů 180 °, proto:

3x + 20 ° + 73 ° = 180 °

3x = 180º - 73º -20º = 87

Nakonec je hodnota x:

x = 87/3 = 29

Pokud jde o všechny úhly, jsou uvedeny na následujícím obrázku:

Obrázek 6. Úhly vyplývající z cvičení 2. Zdroj: F. Zapata.

Reference

1. Úhlové skupiny. Vysvětlení doplňkových, doplňkových a doplňkových úhlů. Obnoveno z: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Rovinná a kosmická geometrie a trigonometrie. Kulturní skupina Patria.
3. Corral, M. Mathematics LibreTexts: Úhly. Obnoveno z: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Klasifikace a konstrukce úhlů jejich měřením. Obnoveno z: Mathania.com/
5. Wentworth, G. Plane Geometry. Obnoveno z: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Úhly konjugace. Obnoveno z: es.wikipedia.org.