SINUSOVÁ VLNA: VLASTNOSTI, ČÁSTI, VÝPOČET, PŘÍKLADY - FYZICKÝ - 2024

Tyto sinusové vlny jsou vlnové vzory, které lze popsat matematicky funkce sinus a kosinus. Přesně popisují přírodní události a časově proměnné signály, jako jsou napětí generovaná elektrárnami a poté použitá v domácnostech, průmyslových odvětvích a ulicích.

Elektrické prvky, jako jsou rezistory, kondenzátory a induktory, které jsou připojeny k sinusovým napěťovým vstupům, vytvářejí sinusové odezvy. Matematika použitá v jeho popisu je relativně přímočará a byla důkladně studována.

Obrázek 1. Sinusová vlna s některými hlavními prostorovými charakteristikami: amplituda, vlnová délka a fáze. Zdroj: Wikimedia Commons. Wave_new_sine.svg: KraaiennestOriginally vytvořeno jako kosinusová vlna, Uživatel: Pelegs, as Soubor: Wave_new.svgderivative work: Dave3457

Matematika sinusových nebo sinusových vln, jak je známo, je funkcí sinusových a kosinových funkcí.

Jedná se o opakující se funkce, což znamená periodicitu. Oba mají stejný tvar, až na to, že kosinus je posunut doleva vzhledem k sinusu o čtvrt cyklu. To je vidět na obrázku 2:

Obrázek 2. Funkce sin x a cos x jsou vůči sobě posunuty. Zdroj: F. Zapata.

Potom cos x = sin (x + π / 2). Pomocí těchto funkcí je znázorněna sinusová vlna. Za tímto účelem je příslušná velikost umístěna na vertikální ose, zatímco čas je umístěn na horizontální ose.

Výše uvedený graf také ukazuje opakující se kvalitu těchto funkcí: vzor se opakuje neustále a pravidelně. Díky těmto funkcím je možné vyjádřit sinusové napětí a proudy měnící se v čase, místo v nebo i na svislou osu namísto y reprezentující napětí nebo proud, a na vodorovnou osu namísto x, t času je umístěn.

Nejobecnějším způsobem vyjádření sinusové vlny je:

Poté se ponoříme do významu tohoto výrazu a definujeme některé základní pojmy, abychom charakterizovali sinusovou vlnu.

Části

Období, amplituda, frekvence, cyklus a fáze jsou koncepty aplikované na periodické nebo opakující se vlny a je důležité je správně charakterizovat.

Doba

Periodická funkce, jako jsou ty uvedené, která se opakuje v pravidelných intervalech, vždy splňuje následující vlastnost:

Kde T je množství nazývané periodou vlny a je to doba, po kterou se fáze vlny opakuje. V jednotkách SI se perioda měří v sekundách.

Amplituda

Podle obecného vyjádření sinusové vlny v (t) = v _m sin (ωt + φ), v _m je maximální hodnota funkce, ke které dochází, když sin (ωt + φ) = 1 (vzpomínáme, že největší hodnota, která připouští jak sinusovou funkci, tak cosinovou funkci, je 1). Tato maximální hodnota je přesně amplituda vlny, známá také jako maximální amplituda.

V případě napětí bude měřeno ve voltech a pokud je to proud, bude v ampérech. Ve znázorněné sinusové vlně je amplituda konstantní, ale v jiných typech vln se může amplituda měnit.

Cyklus

Je to část vlny obsažené v období. Ve výše uvedeném obrázku bylo období získáno měřením ze dvou po sobě jdoucích vrcholů nebo vrcholů, ale může být zahájeno měření z jiných bodů na vlně, pokud jsou omezeny periodou.

Na následujícím obrázku si všimněte, jak cyklus pokrývá z jednoho bodu do druhého stejnou hodnotu (výška) a stejný sklon (sklon).

Obrázek 3. V sinusové vlně cyklus vždy běží po určitou dobu. Důležité je, že počáteční a koncový bod jsou ve stejné výšce. Zdroj: Boylestad. Úvod do analýzy obvodů. Pearson.

Frekvence

Je to počet cyklů, které se vyskytnou za 1 sekundu a je spojen s argumentem sinusové funkce: ωt. Frekvence je označena jako f a je měřena v cyklech za sekundu nebo Hertz (Hz) v mezinárodním systému.

Frekvence je inverzní částka období, proto:

Zatímco frekvence f souvisí s úhlovou frekvencí ω (pulsace) jako:

Úhlová frekvence je v mezinárodním systému vyjádřena v radiánech za sekundu, ale radiaty jsou bezrozměrné, takže frekvence f a úhlová frekvence ω mají stejné rozměry. Všimněte si, že výsledkem ωt je radián, a při použití kalkulátoru je třeba vzít v úvahu hodnotu sin ωt.

Fáze

Odpovídá horizontálnímu posunutí vlny, s ohledem na čas vzatý jako referenční.

Na následujícím obrázku je zelená vlna před červenou vlnou o čas t _d. Dvě sinusové vlny jsou ve fázi, když jejich frekvence a fáze jsou stejné. Pokud se fáze liší, jsou mimo fázi. Vlny na obrázku 2 jsou také mimo fázi.

Obrázek 4. Sínové vlny mimo fázi. Zdroj: Wikimedia commons. Nebyl poskytnut žádný strojově čitelný autor. Kanjo ~ commonswiki převzato (na základě nároků na autorská práva)..

Pokud je frekvence vln odlišná, budou ve fázi, kdy je fáze ωt + φ v obou vlnách v určitých časech stejná.

Generátor sinusové vlny

Existuje mnoho způsobů, jak získat sinusový signál. Poskytují je domácí elektrické zásuvky.

Faraday je vymáhání práva

Poměrně jednoduchý způsob, jak získat sinusový signál, je použití Faradayova zákona. To znamená, že v obvodu s uzavřeným proudem, například ve smyčce, umístěné uprostřed magnetického pole, se generovaný proud generuje, když se tok magnetického pole v průběhu času mění. Následně je také generováno indukované napětí nebo indukovaný emf.

Tok magnetického pole se mění, pokud se smyčka otáčí konstantní úhlovou rychlostí uprostřed pole vytvořeného mezi póly N a S magnetu znázorněného na obrázku.

Obrázek 5. Generátor vln založený na Faradayově zákonu indukce. Zdroj: Zdroj: Raymond A. Serway, Jonh W. Jewett.

Omezení tohoto zařízení je závislost napětí získaného s frekvencí otáčení smyčky, jak bude podrobněji vidět v příkladu 1 v části Příklady níže.

Oscilátor Wien

Další způsob, jak získat sinusovou vlnu, tentokrát s elektronikou, je přes vídeňský oscilátor, který vyžaduje operační zesilovač ve spojení s rezistory a kondenzátory. Tímto způsobem se získají sinusové vlny, jejichž frekvenci a amplitudu může uživatel upravit podle svých výhod, úpravou pomocí přepínačů.

Na obrázku je generátor sinusového signálu, se kterým lze získat i jiné průběhy: mezi jinými trojúhelníkové a čtvercové.

Obrázek 6. Generátor signálu. Zdroj: Zdroj: Wikimedia Commons. Ocgreg na anglické Wikipedii.

Jak vypočítat sinusové vlny?

K provádění výpočtů sinusových vln se používá vědecká kalkulačka, která má trigonometrické funkce sinus a kosinus, jakož i jejich inverze. Tyto kalkulačky mají režimy pro práci s úhly ve stupních nebo v radiánech a je snadné převádět z jedné formy do druhé. Převodní faktor je:

V závislosti na modelu kalkulačky musíte navigovat pomocí tlačítka MODE, abyste našli možnost DEGREE, která vám umožňuje pracovat s trigonometrickými funkcemi ve stupních, nebo možnost RAD, a přímo pracovat s úhly v radiánech.

Například sin 25º = 0,4226 s kalkulačkou nastavenou na režim °. Převodem 25 ° na radiány se získá 0,4363 radiánů a hřích 0,4363 rad = 0,425889 ≈ 0,4226.

Osciloskop

Osciloskop je zařízení, které umožňuje zobrazení jak přímých, tak střídavých napěťových a proudových signálů na obrazovce. Má knoflíky pro nastavení velikosti signálu na mřížce, jak je znázorněno na následujícím obrázku:

Obrázek 7. Sinusový signál měřený osciloskopem. Zdroj: Boylestad.

Prostřednictvím obrazu poskytnutého osciloskopem a znalosti nastavení citlivosti v obou osách je možné vypočítat parametry vlny, které byly dříve popsány.

Obrázek ukazuje sinusový napěťový signál jako funkci času, ve kterém každá divize na vertikální ose má hodnotu 50 milivoltů, zatímco na horizontální ose každá divize má hodnotu 10 mikrosekund.

Amplituda špička-špička se zjistí spočtením divizí, které vlna svisle pokrývá, pomocí červené šipky:

5 dělení se počítá pomocí červené šipky, takže špičkové napětí je:

Vrchol napětí V _p je měřena od vodorovné osy, přičemž 125 mV.

Pro nalezení období se měří cyklus, například cyklus vymezený zelenou šipkou, která pokrývá 3,2 divizí, pak je toto období:

Příklady

Příklad 1

Pro generátor na obrázku 3 ukázejte z Faradayova zákona, že indukované napětí je sinusové. Předpokládejme, že smyčka sestává z N zákrutů namísto pouze jedné, všechny se stejnou oblastí A a rotuje konstantní úhlovou rychlostí ω uprostřed rovnoměrného magnetického pole B.

Řešení

Faradayův zákon říká, že indukovaný emf ε je:

Kde Φ _B je tok magnetického pole, který bude proměnný, protože to závisí na tom, jak je smyčka vystavena poli v každém okamžiku. Záporné znaménko jednoduše popisuje skutečnost, že tento emf je v rozporu s příčinou, která ho způsobuje (Lenzův zákon). Tok v důsledku jediného otočení je:

9 je úhel, který vektor kolmá k rovině smyčky tvoří s polem B, jak postupuje rotace (viz obrázek), tento úhel se přirozeně mění jako:

Takže: Φ _B = BAcos 9 = BAcos ωt. Nyní musíme odvodit tento výraz pouze s ohledem na čas a tím získáme indukovaný emf:

Protože pole B je jednotné a oblast smyčky se nemění, ponechávají mimo derivaci:

Smyčka má plochu 0,100 m ² a otáčí se rychlostí 60,0 ot / s, přičemž její osa otáčení je kolmá k rovnoměrnému magnetickému poli 0,200 T. Znát, že cívka má 1000 závitů, najděte: a) Maximální generovaná emf, b) Orientace cívky ve vztahu k magnetickému poli, když nastane maximální indukovaný emf.

Obrázek 8. Smyčka N se otáčí uprostřed rovnoměrného magnetického pole a generuje sinusový signál. Zdroj: R. Serway, Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 2. Cengage Learning.

Řešení

a) Maximální emf je ε _max = ωNBA

Před výměnou hodnot musí být jednotka International System předána frekvence 60 ot / s. Je známo, že 1 revoluce odpovídá jedné revoluci nebo 2p radiánům:

60,0 ot / s = 120p radiánů / s

ε _max = 120P radiánů x 1000 otáček x 0,200 x 0,100 m T ² = 7539,82 V = 7,5 kV

b) Když se tato hodnota objeví, sin ωt = 1 proto:

ωt = θ = 90º, V tomto případě je rovina spirály rovnoběžná s B, takže vektor kolmý k uvedené rovině tvoří s polem 90 °. K tomu dochází, když je vektor v černé barvě na obrázku 8 kolmý na zelený vektor představující magnetické pole.

Reference

1. Boylestad, R. 2011. Úvod do obvodové analýzy. 12. Edice. Pearson. 327-376.
2. Figueroa, D. 2005. Elektromagnetismus. Fyzikální série pro vědu a techniku. Svazek 6. Editoval D. Figueroa. Univerzita Simona Bolivara. 115 a 244-245.
3. Figueroa, D. 2006. Fyzikální laboratoř 2. Redakční equinoccio. 03-1 a 14-1.
4. Sinusové vlny. Obnoveno z: iessierradeguara.com
5. Serway, R. 2008. Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 2. Cengage Learning. 881-884