Chcete-li zjistit, jaký je součet čtverců dvou po sobě jdoucích čísel, lze najít vzorec, kterým stačí nahradit příslušná čísla k získání výsledku.
Tento vzorec lze najít obecným způsobem, to znamená, že jej lze použít pro libovolný pár po sobě jdoucích čísel.
Řeknutím „po sobě jdoucích čísel“ implicitně říkáte, že obě čísla jsou celá čísla. A „čtverci“ odkazuje na umocňování každého čísla.
Například, pokud jsou brány v úvahu čísla 1 a 2, jejich čtverce jsou 1² = 1 a 2² = 4, proto je součet čtverců 1 + 4 = 5.
Na druhé straně, pokud se vezmou čísla 5 a 6, jejich čtverce jsou 5² = 25 a 6² = 36, se součtem čtverců je 25 + 36 = 61.
Jaký je součet čtverců dvou po sobě jdoucích čísel?
Cílem nyní je zobecnit, co se stalo v předchozích příkladech. K tomu je nutné najít obecný způsob, jak napsat celé číslo a jeho celé číslo.
Pokud se podíváte na dvě po sobě jdoucí celá čísla, například 1 a 2, můžete vidět, že 2 lze zapsat jako 1 + 1. Rovněž, pokud jsou dodržena čísla 23 a 24, dochází k závěru, že 24 lze zapsat jako 23 + 1.
U negativních celých čísel lze toto chování také ověřit. Ve skutečnosti, pokud jsou uvažovány -35 a -36, je vidět, že -35 = -36 + 1.
Pokud je tedy vybráno libovolné celé číslo „n“, potom celé číslo za „n“ je „n + 1“. Vztah mezi dvěma po sobě jdoucími celými čísly tak již byl vytvořen.
Jaký je součet čtverců?
Vzhledem ke dvěma po sobě jdoucím celkovým číslům „n“ a „n + 1“ jsou jejich čtverečky „n²“ a „(n + 1) ²“. Pomocí vlastností významných produktů lze tento poslední termín napsat takto:
(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.
Nakonec je součet čtverců dvou po sobě jdoucích čísel dán výrazem:
n² + n² + 2n + 1 = 2n + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.
Je-li předchozí vzorec podrobný, je vidět, že stačí znát nejmenší celé číslo „n“, abychom věděli, co je součet čtverců, to znamená, že stačí použít nejmenší ze dvou celých čísel.
Další perspektiva získaného vzorce je: zvolená čísla se vynásobí, pak se získaný výsledek vynásobí 2 a nakonec se přidá 1.
Na druhé straně, první doplněk napravo je sudé číslo a přidání 1 povede k liché. Toto říká, že výsledek přidání čtverců dvou po sobě jdoucích čísel bude vždy liché číslo.
Lze také poznamenat, že protože jsou přidávána dvě čísla na druhou, bude tento výsledek vždy pozitivní.
Příklady
1.- Zvažte celá čísla 1 a 2. Nejmenší celé číslo je 1. Použitím předchozího vzorce se dospělo k závěru, že součet čtverců je: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. což souhlasí s počty provedenými na začátku.
2.- Pokud se vezmou celá čísla 5 a 6, bude součet čtverců 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, což se také shoduje s výsledkem získaným na začátku.
3.- Pokud jsou vybrána celá čísla -10 a -9, pak součet jejich čtverců je: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.
4.- Nechť celá čísla v této příležitosti jsou -1 a 0, pak součet jejich čtverců je dán 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.
Reference
- Bouzas, PG (2004). Algebra střední školy: Kooperativní práce v matematice. Vydání Narcea.
- Cabello, RN (2007). Síly a kořeny. Publikujte své knihy.
- Cabrera, VM (1997). Výpočet 4000. Redakční progres.
- Guevara, MH (nd). Sada celých čísel. EUNED.
- Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearsonovo vzdělávání.
- Smith, SA (2000). Algebra. Pearsonovo vzdělávání.
- Thomson. (2006). Předávání GED: Matematika. InterLingua Publishing.