Součet teleskopický je pobočkou operace číselné řady. Zabývá se sčítáním prvků od počáteční hodnoty po „n“ výrazů, jejichž argument se řídí některým z následujících vzorců:
(F x - F x + 1); (F x + 1 - F x)
Jako také:
Zdroj: Pixabay.com
Představují shrnutí prvků, které, když jsou vyvinuty, podléhají zrušení opačných podmínek. Umožnění definovat následující rovnost pro teleskopické sumace:
Jeho jméno pochází ze vztahu s výskytem klasického dalekohledu, který lze složit a rozložit, zejména změnit jeho rozměr. Stejně tak lze ve zjednodušeném výrazu shrnout teleskopické sumace, které jsou nekonečné povahy:
F 1 - F n + 1
Demonstrace
Při vývoji shrnutí termínů je eliminace faktorů zcela zřejmá. Kde pro každý z případů se v následující iteraci objeví opačné prvky.
Jako příklad bude uveden první případ (F x - F x + 1), protože proces funguje homologním způsobem pro (F x + 1 –F x).
Při vývoji prvních 3 hodnot {1, 2, 3} je pozorován trend zjednodušení
X 1 (F 1 - F 1 + 1) = F 1 - F 2
X 2 (F 2 - F 2 + 1) = F 2 - F 3
X 3 (F 3 - F 3 + 1) = F 3 - F 4
Kde při vyjádření součtu popsaných prvků:
X 1 + X 2 + X 3 = F 1 - F 2 + F 2 - F 3 + F 3 - F 4
Je zjištěno, že podmínky F 2 a F 3 jsou popsány spolu s jejich protějšků, které je možné zjednodušení nevyhnutelné. Stejným způsobem, je možno pozorovat, že termíny F 1 a F 4 jsou udržovány.
Byla-li částka z x = 1 až x = 3, to znamená, že prvek F 4 odpovídá generický termín F n + 1.
Prokazující rovnost:
Jak se to vyřeší?
Účelem teleskopických sumací je usnadnit práci, takže není nutné vyvinout nekonečný počet termínů nebo zjednodušit řetězec přísad, který je příliš dlouhý.
Pro jeho vyřešení bude nutné vyhodnotit pouze pojmy F 1 a F n + 1. Tato jednoduchá substituce tvoří konečný výsledek sumace.
Celkový počet výrazů nebude vyjádřen, bude nezbytný pouze pro prokázání výsledku, ale ne pro běžný výpočetní proces.
Důležité je všimnout si konvergence číselných řad. Někdy argument sumace nebude vyjádřen teleskopicky. V těchto případech je implementace alternativních faktoringových metod velmi běžná.
Charakteristická metoda faktorizace v teleskopických přídavcích je metoda jednoduchých zlomků. K tomu dochází, když se původní zlomek rozloží na součet několika zlomků, kde lze pozorovat teleskopický obrazec (F x - F x + 1) nebo (F x + 1 - F x).
Rozklad na jednoduché zlomky
Pro ověření konvergence číselných řad je velmi běžné transformovat racionální výrazy pomocí metody jednoduchých zlomků. Cílem je modelovat spiknutí do tvaru teleskopické sumace.
Například následující rovnost představuje rozklad na jednoduché zlomky:
Při vývoji číselné řady a použití odpovídajících vlastností má výraz následující podobu:
Kde je oceňován teleskopický tvar (F x - F x + 1).
Tento postup je velmi intuitivní a spočívá v nalezení hodnot čitatele, které nám bez porušení rovnosti umožní oddělit produkty nalezené ve jmenovateli. Rovnice, které vznikají při určování těchto hodnot, se zvyšují podle srovnání obou stran rovnosti.
Tento postup je pozorován krok za krokem ve vývoji cvičení 2.
Dějiny
Není zcela jisté, zda je možné definovat historický okamžik, ve kterém byly prezentovány teleskopické sumace. Jeho provádění se však začíná projevovat v sedmnáctém století, ve studiích numerických řad, které provedli Leibniz a Huygens.
Oba matematici, kteří zkoumají součty trojúhelníkových čísel, si začínají všímat trendů v sbližování určitých sérií po sobě jdoucích prvků. Ještě zajímavější je však začátek modelování těchto výrazů v prvcích, které nemusí nutně následovat jeden druhého.
Ve skutečnosti výraz použitý dříve odkazoval na jednoduché zlomky:
Byl představen Huygensem a okamžitě upoutal Leibnizovu pozornost. Kdo v průběhu času mohl pozorovat konvergenci k hodnotě 2. Aniž by to věděl, implementoval teleskopický sumární formát.
Cvičení
Cvičení 1
Definujte, do jaké doby konverguje následující částka:
Při ručním vývoji součtu je pozorován následující vzorec:
(2 3 - 2 4) + (2 4 - 2 5) + (2 5 - 2 6)…. (2 10 - 2 11)
Tam, kde faktory od 2 4 do 2 10 představují pozitivní a negativní části, je zřejmé jejich zrušení. Jedinými faktory, které nebudou zjednodušeny, budou první „2 3 “ a poslední „2 11 “.
Tímto způsobem se při provádění kritéria teleskopického sčítání získá:
Cvičení 2
Transformujte argument do teleskopického součtu typů a definujte konvergenci řady:
Jak je uvedeno v prohlášení, první věcí, kterou musíte udělat, je rozložit se na jednoduché zlomky, aby se argument znovu uvedl a teleskopicky se vyjádřil.
Musíte najít 2 zlomky, jejichž jmenovatelé jsou „n“ a „n + 1“, přičemž níže použitá metoda musí získat hodnoty čitatele, které splňují rovnost.
Postupujeme k definování hodnot A a B. Nejprve přidáme zlomky.
Potom jsou jmenovatelé zjednodušeny a je vytvořena lineární rovnice.
V dalším kroku je výraz napravo provozován, dokud není dosaženo vzoru srovnatelného s "3" vlevo.
Pro definování rovnic, které se mají použít, musí být porovnány výsledky obou stran rovnosti. Jinými slovy, na levé straně nejsou pozorovány žádné hodnoty proměnné n, takže A + B se bude muset rovnat nule.
A + B = 0; A = -B
Na druhé straně se musí konstantní hodnota A rovnat konstantní hodnotě 3.
A = 3
Tím pádem.
A = 3 a B = -3
Jakmile jsou již hodnoty čitatelů pro jednoduché zlomky definovány, je sečtení přepočítáno.
Tam, kde již byla dosažena obecná forma teleskopického sčítání. Teleskopická řada je vyvinuta.
Kde při dělení velmi velkým číslem se výsledek přiblíží a přiblíží k nule, přičemž pozoruje konvergenci řady k hodnotě 3.
Tento typ řady nemohl být vyřešen jiným způsobem kvůli nekonečnému počtu iterací, které definují problém. Tato metoda však, spolu s mnoha dalšími, tvoří rámec oboru numerických řad, jehož cílem je určit hodnoty konvergence nebo definovat divergenci uvedených řad.
Reference
- Lekce nekonečného počtu. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
- Integrální počet: sekvence a řada funkcí. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21. října. 2014.
- Kurz v počtu a reálné analýze. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5. června. 2006.
- Nekonečná řada. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
- Prvky teorie nekonečných procesů. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.