EUCLIDOVA VĚTA: DŮKAZ, APLIKACE A CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

The Eukleidův věta ukazuje vlastnosti trojúhelník nakreslit čáru, která rozděluje IT do dvou nových trojúhelníků, které jsou podobné, a naopak, jsou podobné původním trojúhelníku; pak existuje vztah proporcionality.

Euclid byl jedním z největších matematiků a geometriků starověku, kteří provedli několik důkazů důležitých vět. Jedním z hlavních je ten, který nese jeho jméno a má široké uplatnění.

Bylo tomu tak proto, protože prostřednictvím této věty jednoduchým způsobem vysvětluje geometrické vztahy existující v pravém trojúhelníku, kde jsou nohy trojúhelníku vztaženy k jejich projekcím na přepážku.

Vzorce a demonstrace

Euclidova věta navrhuje, že v každém pravém trojúhelníku, když je nakreslena čára - která představuje výšku, která odpovídá vrcholu pravého úhlu vzhledem k převisu - se z originálu vytvoří dva pravé trojúhelníky.

Tyto trojúhelníky budou vzájemně podobné a budou také podobné původnímu trojúhelníku, což znamená, že jejich podobné strany jsou vzájemně úměrné:

Úhly tří trojúhelníků jsou shodné; to znamená, že když jsou otočeny o 180 stupňů kolem jejich vrcholu, jeden úhel se shoduje s druhým. To znamená, že všichni budou stejní.

Tímto způsobem lze podobnost mezi třemi trojúhelníky také ověřit pomocí rovnosti jejich úhlů. Z podobnosti trojúhelníků stanoví Euclid jejich proporce ze dvou vět:

- Věta o výšce.

- Věta nohou.

Tato věta má široké uplatnění. Ve starověku to bylo používáno počítat výšky nebo vzdálenosti, představovat velký pokrok pro trigonometry.

To je současně aplikováno v různých oblastech, které jsou založené na matematice, takový jako inženýrství, fyzika, chemie a astronomie, mezi mnoho jiných oblastí.

Věta o výšce

V této větě se zjistilo, že v jakémkoli pravoúhlém trojúhelníku je výška nakreslená z pravého úhlu vzhledem k přepážce geometrický poměrný průměr (čtverec výšky) mezi výčnělky nohou, které určuje na přepážce.

To znamená, že čtverec výšky se bude rovnat násobení promítaných nohou, které tvoří přepážku:

h _c ² = m _* n

Demonstrace

Vzhledem k trojúhelníku ABC, který je přímo ve vrcholu C, vykreslí vykreslení výšky dva podobné pravé trojúhelníky, ADC a BCD; jejich odpovídající strany jsou proto přiměřené:

Takovým způsobem, že výška h _c, která odpovídá úseku C-D, odpovídá přepony AB = C, čímž máme:

Na druhé straně to odpovídá:

Řešením pomlčky (h _c), vynásobením dvou členů rovnosti, máme:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Hodnota přebití je tedy dána:

Věta o noze

V této větě je stanoveno, že v každém pravoúhlém trojúhelníku bude měřítkem každé nohy geometrický poměrný průměr (čtverec každé nohy) mezi mírou propony (kompletní) a projekcí každé z nich na ni:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstrace

Vzhledem k trojúhelníku ABC, který je přímo ve vrcholu C, tak, že jeho předpětí je c, jsou při vykreslování výšky (h) určeny projekce nohou aab, které jsou segmenty ma ar, které leží na přepážka.

Máme tedy, že výška nakreslená na pravoúhlém trojúhelníku ABC vytváří dva podobné pravé trojúhelníky, ADC a BCD, takže odpovídající strany jsou úměrné, jako je tato:

DB = n, což je projekce nohy CB na přepážku.

AD = m, což je projekce nohy AC na přepážce.

Pak je míčka c určena součtem nohou jejích výčnělků:

c = m + n

Vzhledem k podobnosti trojúhelníků ADC a BCD máme:

Výše uvedené je stejné jako:

Řešení pro nohu „a“ pro násobení dvou členů rovnosti, máme:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Hodnota nohy "a" je tedy dána:

Stejně tak díky podobnosti trojúhelníků ACB a ADC máme:

Výše uvedené se rovná:

Řešení pro nohu "b" znásobit dva členy rovnosti, máme:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Hodnota nohy "b" je tedy dána:

Vztah mezi Euclidovými větami

Věty s odkazem na výšku a nohy jsou ve vzájemném vztahu, protože míra obou se provádí s ohledem na přetížení pravého trojúhelníku.

Prostřednictvím vztahu Euclidových teorémů lze také nalézt hodnotu výšky; to je možné vyřešením hodnot m a n z věty o noze a jsou nahrazeny ve výšce věty. Tímto způsobem je splněno, že výška se rovná násobení nohou děleno přepážkou:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

Ve výškové větě nahrazujeme ma an:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ²) ÷ c

Řešená cvičení

Příklad 1

S ohledem na trojúhelník ABC, přímo na A, určete míru AC a AD, pokud AB = 30 cm a BD = 18 cm

Řešení

V tomto případě máme měření jedné z promítaných nohou (BD) a jedné z nohou původního trojúhelníku (AB). Tímto způsobem může být věta nohy použita k nalezení hodnoty nohy BC.

AB ² = BD _* BC

(30) ² = 18 _* BC

900 = 18 _* před naším letopočtem

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Hodnota nohy CD lze nalézt s vědomím, že BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Nyní je možné určit hodnotu AC nohy, znovu použít teorém nohy

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = 1600 = 40 cm

Ke stanovení hodnoty výšky (AD) se použije věta o výšce, protože hodnoty promítaných nohou CD a BD jsou známy:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = -576

AD = 24 cm

Příklad 2

Určete hodnotu výšky (h) trojúhelníku MNL, přímo v N, s vědomím rozměrů segmentů:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Řešení

Měříme jednu z nohou promítanou na přepážce (PM), stejně jako míry nohou původního trojúhelníku. Tímto způsobem může být věta nohy použita k nalezení hodnoty druhé promítané nohy (LN):

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 × 5 = 20

Protože je již známa hodnota nohou a přetížení, lze pomocí vztahu věty o výšce a nohách stanovit hodnotu výšky:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ²) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ²) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 x 20

h = 125 cm.

Reference

1. Braun, E. (2011). Chaos, fraktály a podivné věci. Fond hospodářské kultury.
2. Cabrera, VM (1974). Moderní matematika, svazek 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). Matematika 3. roku. Caracas: Santillana.
4. Encyklopedie Britannica, i. (devatenáct devadesát pět). Hispánská encyklopedie: Macropedia. Encyklopedie Britannica Publishers.
5. Euclid, RP (1886). Euclidovy prvky geometrie.
6. Guardeño, AJ (2000). Dědictví matematiky: od Euklidu po Newtona, géniové prostřednictvím svých knih. Sevilla University.