Green je věta je výpočetní metoda používá k připojení vedení integrály dvojných integrálů nebo povrchové plochy. Příslušné funkce musí být označeny jako vektorová pole a definovány v cestě C.
Například řádkový integrální výraz může být velmi obtížně vyřešen; nicméně implementací Greenovy věty se dvojité integrály stávají zcela základními. Vždy je důležité respektovat pozitivní směr trajektorie, což se týká směru proti směru hodinových ručiček.
Greenova věta je zvláštním případem Stokesovy věty, kde se projekce vektorové funkce provádí v rovině xy.
Definice
Výraz Greenovy věty je následující:
První termín ukazuje integrál linie definovaný cestou "C" skalárního produktu mezi vektorovou funkcí "F" a vektorem "r".
C: Je to definovaná cesta, na kterou bude vektorová funkce promítána, pokud je definována pro tuto rovinu.
F: Vektorová funkce, kde každá z jejích složek je definována funkcí jako takovou (f, g).
r: Je to vektor tečný k oblasti R, nad kterou je integrál definován. V tomto případě pracujeme s diferenciálem tohoto vektoru.
Ve druhém termínu vidíme Greenovu teorém, ve kterém je pozorován dvojitý integrál definovaný v oblasti R rozdílu dílčích derivátů g af, s ohledem na xay. Prostorovým diferenciem to není nic víc než součin obou dvourozměrných diferenciálů (dx.dy).
Tato věta je dokonale použitelná pro prostorové a povrchové integrály.
Demonstrace
Abychom dokázali Greenovu větu jednoduchým způsobem, bude tento úkol rozdělen na 2 části. Nejprve se domníváme, že vektorová funkce F má definici pouze v versoru i. Zatímco funkce "g" odpovídající versoru j bude rovna nule.
Autor
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Nejprve vyvineme integrální linii přes cestu C, pro kterou byla cesta rozdělena do 2 sekcí, které začínají nejprve od a do ba poté od b do a.
Definice základní věty počtu je aplikována pro určitý integrál.
Výraz je přeuspořádán do jediného integrálu, negativní je společným faktorem a pořadí faktorů je obráceno.
Při podrobném pozorování této exprese je zřejmé, že při použití kritérií primitivní funkce jsme v přítomnosti integrálu exprese odvozené od f vzhledem k y. Vyhodnoceno v parametrech
Nyní stačí předpokládat, že vektorová funkce F je definována pouze pro g (x, y) j. Pokud při provozu podobným způsobem jako v předchozím případě se získá:
Na závěr jsou 2 důkazy pořízeny a spojeny v případě, že vektorová funkce vezme hodnoty pro oba verše. Tímto způsobem je ukázáno, jak integrální čára po definování a považování za jednorozměrnou trajektorii může být plně vyvinuta pro rovinu a prostor.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Tímto způsobem je prokázána Greenova věta.
Aplikace
Aplikace Greenovy věty jsou široké v oborech fyziky a matematiky. Rozšiřují se na jakoukoli aplikaci nebo použití, které lze použít pro integraci linky.
Mechanickou práci provedenou silou F skrz cestu C lze vyvinout přímkovým integrálem, který Greenův teorém vyjadřuje jako dvojitý integrál oblasti.
Okamžiky setrvačnosti mnoha těl vystavených vnějším silám v různých bodech aplikace také reagují na integrály linií, které lze vyvinout pomocí Greenovy věty.
To má několik funkcí ve studiích odolnosti použitých materiálů. Kde lze externí hodnoty kvantifikovat a vzít v úvahu před vývojem různých prvků.
Obecně Greenova věta usnadňuje pochopení a definici oblastí, kde jsou vektorové funkce definovány s ohledem na region podél cesty.
Dějiny
To bylo publikováno v 1828 v práci Matematická analýza k teoriím elektřiny a magnetismu, napsaný britským matematikem George Green. V něm jsou prozkoumány docela rozhodující části v aplikaci počtu ve fyzice, jako je koncept potenciálních funkcí, Greenovy funkce a aplikace jeho self-tituly věty.
George Green formalizoval jeho kariéru studenta ve věku 40, být doposud úplně učil matematika. Poté, co studoval na University of Cambridge, pokračoval ve svém výzkumu a přispíval do akustiky, optiky a hydrodynamiky, které platí dodnes.
Vztah k jiným větám
Greenova věta je zvláštním případem a vychází z 2 dalších velmi důležitých vět v oblasti počtu. Toto jsou věta Kelvinova-Stokea a divergence nebo Gauss Ostrogradského věta.
Počínaje některou z těchto dvou vět je možné dospět k Greenově teorémě. K vypracování takových důkazů jsou nezbytné určité definice a návrhy.
Cvičení
- Následující cvičení ukazuje, jak transformovat integrál linie na dvojitý integrál s ohledem na region R.
Původní výraz je následující:
Odkud jsou převzaty odpovídající funkce afag
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Neexistuje jediný způsob, jak definovat limity integrace při uplatňování Greenovy věty. Existují však způsoby, jak mohou být integrály po definování jednodušší. Takže optimalizace integračních limitů si zaslouží pozornost.
Kde při řešení integrálů získáme:
Tato hodnota odpovídá v krychlových jednotkách oblasti pod vektorovou funkcí a nad trojúhelníkovou oblastí definovanou C.
V případě integrálu linky bez provedení Greenovy metody by bylo nutné parametrizovat funkce v každé části regionu. To znamená provést 3 parametrizované integrály pro rozlišení. To je dostatečný důkaz účinnosti, kterou Robert Green přinesl svou větou do počtu.
Reference
- Úvod do mechaniky kontinua. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23. července. 2009
- Vícerozměrný počet. James Stewart. Cengage Learning, 22. března 2011
- Neformální historie Greenovy věty a souvisejících myšlenek. James Joseph Cross. Katedra matematiky, University of Melbourne, 1975
- Vedení tepla pomocí zelených funkcí. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16. července 2010
- Aplikace Greenovy věty na extremizaci lineárních integrálů. Obranné technické informační středisko, 1961