VĚTA MILETUS TALES: PRVNÍ, DRUHÁ A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

První a druhá věta Thales of Miletus jsou založena na určování trojúhelníků z podobných (první věta) nebo z kruhů (druhá věta). Byly velmi užitečné v různých oblastech. Například první věta byla velmi užitečná pro měření velkých struktur, když neexistovaly sofistikované měřicí přístroje.

Thales of Miletus byl řecký matematik, který poskytoval velké příspěvky k geometrii, z níž tyto dvě věty vynikají (v některých textech je také psán jako Thales) a jejich užitečné aplikace. Tyto výsledky byly použity v celé historii a umožnily vyřešit širokou škálu geometrických problémů.

Thales of Miletus

Thalesova první věta

Thalesova první věta je velmi užitečným nástrojem, který mimo jiné umožňuje konstrukci trojúhelníku podobného jinému, dříve známému. Odtud jsou odvozeny různé verze věty, které lze použít ve více kontextech.

Předtím, než uvedete své prohlášení, připomeňme si několik představ o podobnosti trojúhelníků. V zásadě jsou dva trojúhelníky podobné, pokud jsou jejich úhly shodné (mají stejnou míru). To má za následek, že pokud jsou dva trojúhelníky podobné, jejich odpovídající (nebo homologní) strany jsou úměrné.

Thalesova první věta říká, že pokud je čára nakreslena rovnoběžně s některou z jejích stran v daném trojúhelníku, bude nový získaný trojúhelník podobný původnímu trojúhelníku.

Rovněž se získá vztah mezi vytvořenými úhly, jak je znázorněno na následujícím obrázku.

aplikace

Mezi jeho mnoha aplikacemi vyniká jeden ze zvláštních zájmů a má co do činění s jedním ze způsobů, jak byla měření velkých struktur prováděna ve starověku, v době, kdy Thales žil a ve které neexistovala žádná moderní měřicí zařízení. teď existují.

Říká se, že takto se Thallovi podařilo změřit nejvyšší pyramidu v Egyptě, Cheops. Thales proto předpokládal, že odrazy slunečních paprsků se dotkly země a vytvářely rovnoběžné linie. Za tohoto předpokladu svázal hůl nebo hůl svisle do země.

Poté použil podobnost dvou výsledných trojúhelníků, jednoho tvořeného délkou stínu pyramidy (kterou lze snadno spočítat) a výškou pyramidy (neznámého) a druhého tvořeného délkou stínu a výška tyče (kterou lze také snadno spočítat).

Použitím proporcionality mezi těmito délkami může být výška pyramidy vyřešena a známa.

Ačkoli tato metoda měření může způsobit významnou chybu při aproximaci s ohledem na přesnost výšky a závisí na rovnoběžnosti slunečních paprsků (což zase závisí na přesném čase), je třeba uznat, že se jedná o velmi důmyslný nápad a že poskytla dobrou alternativu pro měření času.

Příklady

Najděte hodnotu x v každém případě:

Thalesova druhá věta

Druhá věta Thalese určuje pravoúhlý trojúhelník zapsaný do kruhu v každém jeho bodě.

Trojúhelník napsaný na obvodu je trojúhelník, jehož vrcholy jsou na obvodu, takže v něm zůstávají.

Konkrétně Thalesova druhá věta uvádí následující: vzhledem k obvodu středu O a průměru AC určuje každý bod B obvodu (jiný než A a C) pravý trojúhelník ABC s pravým úhlem

Jako odůvodnění si všimněte, že jak OA, tak OB a OC odpovídají poloměru kruhu; proto jsou jejich měření stejná. Z toho vyplývá, že trojúhelníky OAB a OCB jsou rovnoramenné, kde

Je známo, že součet úhlů trojúhelníku se rovná 180 °. Pomocí tohoto trojúhelníku ABC máme:

2b + 2a = 180 °.

Ekvivalentně máme b + a = 90º a b + a =

Všimněte si, že pravoúhlý trojúhelník poskytovaný Thalesovou druhou větou je přesně ten, jehož propona se rovná průměru obvodu. Proto je zcela určeno půlkruhem, který obsahuje body trojúhelníku; v tomto případě horní půlkruh.

Podívejme se také na to, že v pravoúhlém trojúhelníku získaném pomocí Thalesovy druhé věty je převis rozdělen na dvě stejné části pomocí OA a OC (poloměr). Toto opatření se zase rovná segmentu OB (také poloměru), který odpovídá střední hodnotě trojúhelníku ABC od B.

Jinými slovy, délka mediánu pravoúhlého trojúhelníku ABC, která odpovídá vrcholu B, je zcela určena polovinou přetížení. Nezapomeňte, že medián trojúhelníku je segment z jednoho z vrcholů do středu protilehlé strany; v tomto případě segment BO.

Zakroužkovaný obvod

Dalším způsobem, jak se dívat na Thalesovu druhou větu, je kruh obklopený pravým trojúhelníkem.

Obecně je obvod ohraničený mnohoúhelníkem tvořen obvodem, který prochází každým z jeho vrcholů, kdykoli je to možné.

S použitím Thalesovy druhé věty, vzhledem k pravoúhlému trojúhelníku, můžeme vždy zkonstruovat obvod, který je ohraničený, s poloměrem rovnajícím se polovině mřížky a obvodem (středem obvodu) rovným středu mřížky.

aplikace

Velmi důležitou aplikací Thalesovy druhé věty, a možná nejrozšířenější, je najít tečné linie k danému kruhu, skrz bod P, který je k němu vnější (známý).

Všimněte si, že vzhledem k kružnici (nakreslené modrou barvou na obrázku níže) a vnějšímu bodu P jsou dvě kružnice tečné ke kružnici, která prochází P. Nechť T a T 'jsou tečné body, r poloměr kružnice a Nebo centrum.

Je známo, že segment, který jde ze středu kružnice do stejného tečného bodu, je kolmý na tuto tangenciální linii. Takže úhel OTP je správný.

Z toho, co jsme viděli dříve v Thalesově první větě a jejích různých verzích, vidíme, že je možné zapsat OTP trojúhelník do jiného kruhu (červeně).

Podobně se získá, že trojúhelník OT'P může být zapsán na stejném předchozím obvodu.

Thalesovou druhou větou také získáme, že průměrem tohoto nového obvodu je přesně přetížení trojúhelníku OTP (což se rovná přetížení trojúhelníku OT'P) a střed je středem této přeběhu.

Pro výpočet středu nového obvodu pak stačí vypočítat střed mezi středem - řekněme M - počátečního obvodu (který už víme) a bodem P (který také víme). Poloměr pak bude vzdálenost mezi tímto bodem M a P.

S poloměrem a středem červeného kruhu najdeme jeho karteziánskou rovnici, kterou si pamatujeme, je dána (xh) ² + (yk) ² = c ², kde c je poloměr a bod (h, k) je střed obvodu.

Když nyní známe rovnice obou kruhů, můžeme je protínat řešením soustavy jimi vytvořených rovnic a získáním bodů tečnosti T a T '. A konečně, abychom poznali požadované tečné linie, stačí najít rovnici linií, které procházejí T a P a přes T 'a P.

Příklad

Zvažte obvod průměru AC, středu O a poloměru 1 cm. Nechť B je bod na obvodu takový, že AB = AC. Jak vysoký je AB?

Řešení

Podle Thalesovy druhé věty máme pravoúhlý trojúhelník ABC a předpětí odpovídá průměru, který v tomto případě měří 2 cm (poloměr je 1 cm). Pak podle Pythagorovy věty máme:

Reference

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometrie a trigonometrie. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearsonovo vzdělávání.
3. Gutiérrez, Á. NA. (2004). Metodika a aplikace matematiky na ministerstvu školství ESO.
4. IGER. (2014). Matematika 2. semestr Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematika 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometrie a analytická geometrie. Pearsonovo vzdělávání.
7. Pérez, MA (2009). Dějiny matematiky: výzvy a dobývání prostřednictvím jejích postav. Editorial Vision Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Analytická geometrie roviny. Editorial Venezolana CA