ZÁKLADNÍ VĚTA ARITMETIKY: DŮKAZ, APLIKACE, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Základní teorém aritmetiky uvádí, že jakýkoliv přirozené číslo větší než 1, může být rozložen jako součin prvočísel - některé mohou být opakované - a tato forma je unikátní pro toto číslo, i když pořadí faktorů mohou být různé.

Připomeňme, že prvočíslo p je číslo, které pouze přiznává sebe, a 1. jako kladné dělitele 1. Následující čísla jsou prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13 atd., Protože existují nekonečna. Číslo 1 se nepovažuje za hlavní, protože má pouze jednoho dělitele.

Obrázek 1. Euclid (vlevo) prokázal základní teorém aritmetiky ve své knize Elementy (350 př. Nl) a první úplný důkaz je dán Carlem F. Gaussem (1777–1855) (vpravo). Zdroj: Wikimedia Commons.

Čísla, která nevyhovují výše uvedenému, se nazývají složená čísla, jako jsou 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14… Vezměme si například číslo 10 a okamžitě vidíme, že může být rozloženo jako produkt 2 a 5:

10 = 2 × 5

Jak 2, tak 5 jsou ve skutečnosti prvočísla. Veta říká, že je to možné pro libovolné číslo n:

Kde p ₁, p ₂, p ₃ … p _r jsou prvočísla a k ₁, k ₂, k ₃,… k _r jsou přirozená čísla. Prvočísla tedy působí jako stavební kameny, z nichž se pomocí násobení vytvářejí přirozená čísla.

Důkaz základní věty aritmetiky

Začneme tím, že ukážeme, že každé číslo lze rozložit na hlavní faktory. Dovolit je přirozené číslo n> 1, prvočíslo nebo složený.

Například pokud n = 2, může být vyjádřeno jako: 2 = 1 × 2, což je prvořadé. Stejným způsobem pokračujte s následujícími čísly:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Pokračujeme takto, rozkladáme všechna přirozená čísla, dokud nedosáhneme čísla n -1. Uvidíme, jestli to dokážeme s následujícím číslem: n.

Pokud je n prvočíslo, můžeme jej rozložit jako n = 1 × n, ale předpokládejme, že n je složené a má dělitel d, logicky menší než n:

1 <d <n.

Pokud n / d = p ₁, s p ₁ prvočíslo, n se zapíše jako:

n = p ₁.d

Je-li d prvočíslo, již není třeba dělat, ale pokud tomu tak není, existuje číslo n _2, které je dělitelem d a menší než toto: n ₂ <d, takže d může být zapsán jako produkt n ₂ jiným prvočíslo p ₂:

d = p ₂ n ₂

To, že při nahrazení původním číslem n by:

n = p ₁.p _2. n ₂

Nyní předpokládejme, že n ₂ není prvočíslo buď a zapíšeme ji jako součin prvočíslo p ₃, jeho dělitel n ₃, taková, že n ₃ <n ₂ <n ₁ <n:

n ₂ = p _3. n ₃ → n = p ₁ p ₂ p _3. n ₃

Tento postup opakujeme několikrát, dokud nezískáme:

n = p ₁.p ₂.p ₃… p _r

To znamená, že je možné rozložit všechna celá čísla z 2 na číslo n jako součin prvočísel.

Jedinečnost prvotní faktorizace

Nyní si ověřme, že kromě pořadí faktorů je tento rozklad jedinečný. Předpokládejme, že n lze napsat dvěma způsoby:

n = p ₁.p ₂.p ₃ … p _r = q _1. q ₂.q ₃ …..q _s (s r ≤ s)

Samozřejmě q ₁, q ₂, q ₃… jsou také prvočísla. Protože p _{1 se} dělí (q _1. q ₂.q ₃ …..q _s), pak se p ₁ rovná jednomu z „q“, nezáleží na tom, který z nich, takže můžeme říci, že p ₁ = q ₁. Dělíme n p ₁ a získáme:

p ₂.p ₃ … p _r = . q ₂.q ₃ …..q _s

Postup opakujeme, dokud vše nerozdělíme p _r, pak získáme:

1 = q _{r + 1} … q _s

Není však možné dospět k q _{r + 1} … q _s = 1, když r <s, pouze pokud r = s. I když přiznáním, že r = s, připouští se také, že "p" a "q" jsou stejné. Proto je rozklad jedinečný.

Aplikace

Jak jsme již řekli výše, prvočísla představují, pokud se vám líbí, atomy čísel, jejich základní složky. Takže základní věta aritmetiky má četné aplikace, nejjasnější: můžeme pracovat s velkými čísly snadněji, pokud je vyjádříme jako produkt menších čísel.

Stejně tak můžeme najít největší společný násobek (LCM) a největší společný dělitel (GCF), postup, který nám pomáhá snadněji vytvářet součty zlomků, najít kořeny velkého počtu nebo pracovat s radikály, racionalizovat a řešit aplikační problémy velmi rozmanité povahy.

Navíc prvočísla jsou nesmírně záhadná. Vzor v nich ještě není rozpoznán a není možné vědět, který z nich bude další. Největší dosud byl nalezen počítači a má 24 862 048 číslic, i když nová prvočísla se objevují méně často pokaždé.

Prvočísla v přírodě

Cikáda, cikádidos nebo cikády, které žijí na severovýchodě Spojených států, se objevují v cyklech 13 nebo 17 let. Oba jsou prvočísla.

Tímto způsobem se cikáda vyhýbají shodě s dravci nebo konkurenty, kteří mají jiná období narození, ani si různé druhy cikády navzájem nekonkurují, protože se neshodují během stejného roku.

Obrázek 2. Magicicada cicada východních Spojených států se objevuje každých 13 až 17 let. Zdroj: Pxfuel.

Prvočísla a online nakupování

Prvotní čísla se v kryptografii používají k utajení údajů o kreditní kartě při nákupech přes internet. Tímto způsobem se data, která kupující dostane do obchodu přesně, aniž by byla ztracena nebo upadla do rukou bezohledných lidí.

Jak? Data na kartách jsou zakódována v čísle N, které lze vyjádřit jako součin prvočísel. Tato prvočísla jsou klíčem, který data odhalují, ale nejsou veřejnosti známa, lze je dekódovat pouze na webu, na který jsou směrována.

Rozklad čísla na faktory je snadný úkol, pokud jsou čísla malá (viz řešená cvičení), ale v tomto případě jsou jako klíč použita prvočísla 100 číslic, která při jejich násobení dávají mnohem větší čísla, jejichž podrobný rozklad zahrnuje obrovský úkol.

Řešená cvičení

- Cvičení 1

Rozdělte 1029 na hlavní faktory.

Řešení

1029 je dělitelné 3. Je známo, že při přidávání jeho číslic je součet násobkem 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Protože pořadí faktorů nezmění produkt, můžeme začít tam:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Na druhé straně 343 = 7 ³, pak:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

A protože jak 3, tak 7 jsou prvočísla, jedná se o rozklad 1029.

- Cvičení 2

Faktor trinomiální x ² + 42x + 432.

Řešení

Trinomial je přepsán ve formě (x + a). (x + b) a musíme najít hodnoty aab, aby:

a + b = 42; ab = 432

Číslo 432 je rozloženo na hlavní faktory a odtud je vhodná kombinace vybrána pomocí pokusu a omylu, takže přidané faktory dávají 42.

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 =…

Odtud existuje několik možností, jak napsat 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….

A všechny lze nalézt kombinací produktů mezi hlavní faktory, ale pro vyřešení navrhovaného cvičení je jediná vhodná kombinace: 432 = 24 × 18 od 24 + 18 = 42, pak:

x ² + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)

Reference

1. Baldor, A. 1986. Teoretická praktická aritmetika. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
2. BBC World. Skrytý kód přírody. Obnoveno z: bbc.com.
3. De Leon, Manuel, prvotřídní čísla: strážci internetu. Obnoveno z: blogs.20minutos.es.
4. UNAM. Teorie čísel I: Základní věta aritmetických. Obnoveno z: teoriadenumeros.wikidot.com.
5. Wikipedia. Základní věta aritmetiky. Obnoveno z: es.wikipedia.org.