- vlastnosti
- Typy
- Překladem
- Rotací
- Odrazem nebo symetrií
- Centrální symetrie
- Složení rotace
- Složení symetrie
- Reference
Tyto izometrické transformace jsou změny poloze nebo orientaci dané číslo, které nemají vliv na formu nebo velikost. Tyto transformace jsou rozděleny do tří typů: translace, rotace a reflexe (izometrie). Geometrické transformace vám obecně umožňují vytvořit novou postavu z dané.
Transformace na geometrický útvar znamená, že nějakým způsobem prošla určitou změnou; to znamená, že to bylo změněno. Podle smyslu originálu a podobného v rovině lze geometrické transformace rozdělit do tří typů: izometrické, izomorfní a anamorfní.
vlastnosti
Izometrické transformace nastávají, když jsou zachovány velikosti segmentů a úhly mezi původní postavou a transformovanou postavou.
V tomto typu transformace se nezmění ani tvar ani velikost obrázku (jsou shodné), jedná se pouze o změnu jeho polohy, a to buď v orientaci nebo směru. Tímto způsobem budou počáteční a konečné údaje podobné a geometricky shodné.
Izometrie označuje rovnost; jinými slovy, geometrické obrázky budou izometrické, pokud mají stejný tvar a velikost.
V izometrických transformacích je jedinou věcí, kterou lze pozorovat, změna polohy v rovině, nastane rigidní pohyb, díky kterému obrázek přechází z počáteční polohy do konečné. Toto číslo se nazývá homologní (podobné) originálu.
Existují tři typy pohybů, které klasifikují izometrickou transformaci: translace, rotace a reflexe nebo symetrie.
Typy
Překladem
Jsou to izometrie, které umožňují pohyb všech bodů roviny v přímce v daném směru a vzdálenosti.
Když je postava transformována překladem, nemění svou orientaci ve vztahu k počáteční poloze, ani neztrácí své vnitřní míry, míry svých úhlů a stran. Tento typ posunu je definován třemi parametry:
- Jeden směr, který může být vodorovný, svislý nebo šikmý.
- Jeden směr, který může být vlevo, vpravo, nahoru nebo dolů.
- Vzdálenost nebo velikost, což je délka od počáteční polohy do konce libovolného bodu, který se pohybuje.
Aby byla splněna izometrická transformace translací, musí být splněny následující podmínky:
- Postava musí vždy udržovat všechny své rozměry, lineární i úhlové.
- obrázek nezmění svou polohu vzhledem k vodorovné ose; to znamená, že jeho úhel se nikdy nemění.
- Překlady budou vždy shrnuty do jednoho, bez ohledu na počet provedených překladů.
V rovině, kde středem je bod O, se souřadnicemi (0,0) je překlad definován vektorem T (a, b), který označuje posun počátečního bodu. To znamená:
P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)
Například, pokud se použije překlad T (-4, 7) na souřadný bod P (8, -2), dostaneme:
P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)
Na následujícím obrázku (vlevo) je vidět, jak se bod C posunul, aby se shodoval s D. Dělal to ve svislém směru, směr byl vzhůru a vzdálenost nebo velikost CD byla 8 metrů. Na pravém obrázku je pozorován překlad trojúhelníku:
Rotací
Jsou to ty izometrie, které umožňují postavě otočit všechny body letadla. Každý bod se otáčí po oblouku, který má konstantní úhel a pevný bod (střed otáčení).
To znamená, že veškerá rotace bude definována svým středem rotace a úhlem rotace. Když je postava transformována rotací, zachovává míru svých úhlů a stran.
Rotace nastává v určitém směru, je pozitivní, když je rotace proti směru hodinových ručiček (opačný směr, jak se otáčejí ruce hodin) a záporná, když je rotace ve směru hodinových ručiček.
Pokud se bod (x, y) otočí vzhledem k počátku - to znamená, že jeho střed rotace je (0,0) -, pod úhlem 90 nebo 360, nebo souřadnice těchto bodů budou:
V případě, že rotace nemá střed počátku, musí být počátek souřadnicového systému přenesen do nového daného počátku, aby bylo možné otočit postavu s počátkem jako středem.
Například, pokud se použije bod P (-5,2), otočení o 90 nebo, kolem počátku a pozitivně, jeho nové souřadnice jsou (-2,5).
Odrazem nebo symetrií
Jsou to transformace, které invertují body a postavy letadla. Tato inverze může být s ohledem na bod nebo také s ohledem na čáru.
Jinými slovy, v tomto typu transformace je každý bod původního obrázku spojen s jiným bodem (obrazem) homologního obrázku, takže bod a jeho obraz jsou ve stejné vzdálenosti od linie zvané osa symetrie..
Levá část obrázku tedy bude odrazem pravé části, aniž by se měnil její tvar nebo rozměry. Symetrie transformuje postavu na jinou rovnou, ale v opačném směru, jak je vidět na následujícím obrázku:
Symetrie je přítomna v mnoha aspektech, například v některých rostlinách (slunečnice), zvířatech (páv) a přírodních jevech (sněhové vločky). Lidská bytost to odráží na jeho tváři, která je považována za faktor krásy. Reflexe nebo symetrie mohou být dvou typů:
Centrální symetrie
Je to ta transformace, která nastává s ohledem na bod, ve kterém může postava změnit svou orientaci. Každý bod původní postavy a její obraz jsou ve stejné vzdálenosti od bodu O, který se nazývá střed symetrie. Symetrie je ústřední, když:
- Bod i jeho obraz i střed patří do stejné linie.
- Při otočení o 180 o od středu O se získá číslo rovné původnímu.
- Čáry počátečního obrázku jsou rovnoběžné s liniemi vytvořeného obrázku.
- Smysl postavy se nemění, vždy bude ve směru hodinových ručiček.
Složení rotace
Složení dvou zatáček se stejným středem má za následek další zatáčku, která má stejný střed a jejíž amplituda bude součtem amplitud obou zatáček.
Pokud má střed zatáčky jiný střed, bude středem zatáčky průsečík dvou segmentů podobných bodů.
Složení symetrie
V tomto případě bude složení záviset na tom, jak je aplikováno:
- Pokud je stejná symetrie použita dvakrát, výsledkem bude identita.
- Pokud se použijí dvě symetrie vůči dvěma rovnoběžným osám, výsledkem bude překlad a jeho posunutí je dvojnásobkem vzdálenosti těchto os:
- Pokud se použijí dvě symetrie vůči dvěma osám, které se protínají v bodě O (střed), bude dosaženo rotace se středem v O a jeho úhel bude dvojnásobkem úhlu vytvořeného osami:
Reference
- V Bourgeois, JF (1988). Materiály pro konstrukci geometrie. Madrid: Syntéza.
- Cesar Calavera, IJ (2013). Technický výkres II. Paraninfo SA: Vydání věže.
- Coxeter, H. (1971). Základy geometrie. Mexiko: Limusa-Wiley.
- Coxford, A. (1971). Přístup geometrie A transformace. USA: Laidlaw Brothers.
- Liliana Siñeriz, RS (2005). Indukce a formalizace ve výuce rigidních transformací v prostředí CABRI.
- , PJ (1996). Skupina izometrií letadla. Madrid: Syntéza.
- Suárez, AC (2010). Transformace v rovině. Gurabo, Portoriko: AMCT.