SCALENE TRAPEZOID: VLASTNOSTI, VZORCE A ROVNICE, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Scalene lichoběžník je polygon se čtyřmi stranami, z nichž dvě jsou navzájem rovnoběžné, a se čtyřmi vnitřními úhly různých opatření.

Čtyřstranný ABCD je zobrazen níže, kde strany AB a DC jsou navzájem rovnoběžné. To je dost pro to, aby to byl lichoběžník, ale také vnitřní úhly α, β, γ a δ jsou různé, proto lichoběžník je skalní.

Obrázek 1. Kvadrilaterální ABCD je lichoběžník podle podmínky 1 a scalen podle podmínky 2. Zdroj: F. Zapata.

Prvky scalene trapézia

Zde jsou nejcharakterističtější prvky:

-Báze a strany: rovnoběžné strany lichoběžníku jsou jeho základny a dvě nerovnoběžné strany jsou strany.

U lichoběžníkového lichoběžníku jsou základny různých délek a také postranní. Scalen lichoběžník však může mít boční stejnou délku jako základna.

-Median: je segment, který spojuje středy bočních.

-Diagonály: úhlopříčka lichoběžníku je segment, který spojuje dva protilehlé vrcholy. Lichoběžník, stejně jako každý čtyřúhelník, má dvě úhlopříčky. V lichoběžníkovém skeletu mají různou délku.

Jiné lichoběžníky

Kromě trapézového lichoběžníku existují i ​​další zvláštní lichoběžníky: pravý lichoběžník a lichoběžník s rovnoramenným lichoběžníkem.

Lichoběžník je obdélník, je-li jeden z jeho úhlů pravý, zatímco lichoběžník má stejné délky.

Lichoběžníkový tvar má řadu aplikací na úrovni designu a průmyslu, například v konfiguraci letadel, tvaru každodenních předmětů, jako jsou stoly, opěradla židlí, balení, peněženky, textilní potisky a další.

Obrázek 2. Lichoběžníkový tvar je běžný v konfiguraci křídla letadel. Zdroj: Wikimedia Commons.

Vlastnosti

Vlastnosti lichoběžníkového scalenu jsou uvedeny níže, z nichž mnohé sahají i do jiných typů lichoběžníků. V následujícím textu, když se mluví o „lichoběžníku“, bude vlastnost platit pro jakýkoli typ, včetně skalenu.

1. Medián lichoběžníku, tj. Segment, který spojuje střed svých neparalelních stran, je rovnoběžný s jakoukoli ze základen.

2.- Medián lichoběžníku má délku, která je polosemem jeho základny a ve středu stříhá jeho úhlopříčky.

3.- Diagonály lichoběžníku se protínají v bodě, který je rozděluje na dvě části, které jsou úměrné kvocientům bází.

4.- Součet čtverců úhlopříček lichoběžníku se rovná součtu čtverců jeho stran plus dvojnásobku součtu jeho základen.

5.- Úsečka, která se připojuje ke středu diagonálů, má délku rovnou polovičnímu rozdílu základen.

6.- Úhly sousedící s bočními jsou doplňkové.

7.- V lichoběžníku lichoběžníkového zkreslení jsou jeho úhlopříčky různé.

8. - Lichoběžník má vyznačený obvod, pouze pokud je součet jeho základen roven součtu jeho stran.

9. - Pokud má lichoběžník vyznačený obvod, je úhel s vrcholem ve středu uvedeného obvodu a stranami, které procházejí konci boční strany lichoběžníku, přímý.

10. - Scalen lichoběžník nemá ohraničený obvod, jediný typ lichoběžníku, který dělá, je rovnoramenný.

Vzorce a rovnice

Následující vztahy scalenového lichoběžníku jsou uvedeny na následujícím obrázku.

1.- Pokud AE = ED a BF = FC → EF - AB a EF - DC.

2. EF = (AB + DC) / 2, což je: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 a AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) podobně CJ / JA = (c / a).

Obrázek 3. Medián a úhlopříčky scalenového lichoběžníku. Zdroj: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Ekvivalentně:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

To znamená:

n = (a - c) / 2

7- a + 5 = 180 ° a P + y = 180⁰

8.- Pokud α ≠ β ≠ γ ≠ δ, pak d1 ≠ d2.

9.- Obrázek 4 ukazuje scalen lichoběžník, který má popisovaný obvod, v tomto případě je pravda, že:

a + c = d + b

10.- V lichoběžníkovém lichoběžníku ABCD s vyznačeným obvodem středu O platí také toto:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Obrázek 4. Pokud je v lichoběžníku ověřeno, že součet jeho základen je roven součtu postranních, je v něm vyznačen obvod. Zdroj: F. Zapata.

Výška

Výška lichoběžníku je definována jako segment, který jde z bodu základny kolmo k protilehlé základně (nebo k jejímu prodloužení).

Všechny výšky lichoběžníku mají stejné měření h, takže většina času se výška slova vztahuje k jeho měření. Stručně řečeno, výška je vzdálenost nebo vzdálenost mezi základnami.

Výška h může být stanovena znát délku jedné strany a jednoho z úhlů sousedících se stranou:

h = d Sen (a) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Medián

Míra mediánu lichoběžníku je poločet součtů bází:

m = (a + b) / 2

Diagonály

d ₁ = √

d ₂ = √

Lze jej také spočítat, pokud je známa pouze délka stran lichoběžníku:

d ₁ = √

d ₂ = √

Obvod

Obvod je celková délka obrysu, tj. Součet všech jeho stran:

P = a + b + c + d

Plocha

Plocha lichoběžníku je semisum jeho základen vynásobené jeho výškou:

A = h ∙ (a + b) / 2

Lze ji také spočítat, je-li znám střední med a výška h:

A = m ∙ h

V případě, že je známa pouze délka stran lichoběžníku, lze plochu určit pomocí Heronova vzorce pro lichoběžník:

A = ∙ √

Kde s je semiperimetr: s = (a + b + c + d) / 2.

Jiné poměry pro scalen trapezium

Průnik mediánu s diagonálami a rovnoběžka, která prochází průnikem diagonálů, vede k dalším vztahům.

Obrázek 5. Další vztahy pro lichoběžníkové scalen. Zdroj: F. Zapata.

-Vztahy pro střední EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Vztahy pro segment rovnoběžný se základnami KL a procházející průsečíkem J úhlopříček

Pokud KL - AB - DC s J ∈ KL, pak KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Konstrukce lichoběžníku s pravítkem a kompasem

Vzhledem k základnám délek aac, kde a> cy se stranami délek b a d, kde b> d, pokračujte těmito kroky (viz obrázek 6):

1.- Pravidlem je nakreslen segment hlavní AB.

2.- Od bodu A se na AB označte bod P tak, že AP = c.

3.- S kompasem se středem v P a poloměrem d se nakreslí oblouk.

4.- Střed se vytvoří v bodě B s poloměrem b a nakreslí oblouk, který zachycuje oblouk nakreslený v předchozím kroku. Nazýváme Q křižovatkou.

Obrázek 6. Konstrukce scalenového lichoběžníku vzhledem k jeho stranám. Zdroj: F. Zapata.

5.- Se středem v A nakreslete oblouk o poloměru d.

6.- Se středem v Q nakreslete oblouk o poloměru c, který zachytí oblouk nakreslený v předchozím kroku. Mezní bod se nazývá R.

7.- Segmenty BQ, QR a RA jsou nakresleny pravítkem.

8. - Quadrilateral ABQR je scalene trapezoid, protože APQR je rovnoběžník, který zaručuje AB - QR.

Příklad

Následující délky jsou uvedeny v cm: 7, 3, 4 a 6.

a) Určete, zda s nimi je možné zkonstruovat scalenový lichoběžník, který může ohraničit kruh.

b) Najděte obvod, oblast, délku úhlopříček a výšku uvedeného lichoběžníku, jakož i poloměr zakreslené kružnice.

- Řešení

Za použití segmentů délky 7 a 3 jako základů a segmentů délky 4 a 6 jako stran lze vytvořit trapézový lichoběžník pomocí postupu popsaného v předchozí části.

Zbývá zkontrolovat, zda má opsaný obvod, ale pamatuje si vlastnost (9):

Vidíme to efektivně:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Pak je splněna podmínka existence zapsaného obvodu.

- Řešení b

Obvod

Obvod P je získán přidáním stran. Protože základny sčítají až 10 a také postranní, obvod je:

P = 20 cm

Plocha

K určení oblasti, známé pouze na jejích stranách, se použije vztah:

A = ∙ √

Kde s je semiperimetr:

s = (a + b + c + d) / 2.

V našem případě má semiperimetr hodnotu s = 10 cm. Po nahrazení příslušných hodnot:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Zůstává:

A = √ = (5/2) = 63 = 19,84 cm².

Výška

Výška h se vztahuje k oblasti A následujícím výrazem:

A = (a + c) ∙ h / 2, z čehož lze výšku získat zúčtováním:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 x 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Poloměr popsaného kruhu

Poloměr zapsané kružnice se rovná polovině výšky:

r = h / 2 = 1 984 cm

Diagonály

Nakonec najdeme délku úhlopříček:

d ₁ = √

d ₂ = √

Správné nahrazení hodnot, které máme:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

To je: d ₁ = 4,69 cm a d ₂ = 8,49 cm

Obrázek 7. Scalenový lichoběžník, který splňuje podmínku existence zapsaného obvodu. Zdroj: F. Zapata.

Cvičení vyřešeno

Stanovte vnitřní úhly lichoběžníku se základnami AB = a = 7, CD = c = 3 a bočními úhly BC = b = 6, DA = d = 4.

Řešení

Kosinova věta může být použita pro stanovení úhlů. Například úhel ∠A = α je určen z trojúhelníku ABD s AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 a DA = d = 4.

Kosinova věta aplikovaná na tento trojúhelník vypadá takto:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), to je:

72 = 49 + 16-56 ° Cos (a).

Řešením pro kosinus úhlu a je:

Cos (a) = -1/8

To znamená, a = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Ostatní úhly jsou získány stejným způsobem, jejich hodnoty jsou:

p = 41,41⁰; y = 138,59⁰ a nakonec 5 = 82,82⁰.

Reference

1. CEA (2003). Geometrické prvky: s cvičeními a kompasovou geometrií. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Objevte mnohoúhelníky. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generalized Polygons. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematika 1. semestr Tacaná. IGER.
6. Geometrie jr. (2014). Polygony. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren a Hornsby. (2006). Matematika: Zdůvodnění a aplikace (desáté vydání). Pearsonovo vzdělávání.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakční program.
9. Wikipedia. Trapéz. Obnoveno z: es.wikipedia.com