ROVNORAMENNÝ TROJÚHELNÍK: VLASTNOSTI, VZOREC A PLOCHA, VÝPOČET - MATEMATIKA - 2025

Rovnoramenný trojúhelník je polygon s tří stran, přičemž dva z nich mají stejný opatření a třetí stranu jiná opatření. Tato poslední strana se nazývá základna. Kvůli této charakteristice dostal toto jméno, což v řečtině znamená „rovné nohy“

Trojúhelníky jsou polygony považované za nejjednodušší v geometrii, protože se skládají ze tří stran, tří úhlů a tří vrcholů. Jsou to ty, které mají vůči ostatním polygonům nejméně stran a úhlů, jejich použití je však velmi široké.

Charakteristika rovnoramenných trojúhelníků

Rovnoramenný trojúhelník byl klasifikován pomocí parametru jeho stran jako parametru, protože dvě jeho strany jsou shodné (mají stejnou délku).

Na základě amplitudy vnitřních úhlů jsou rovnoramenné trojúhelníky klasifikovány jako:

• Rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník: dvě jeho strany jsou stejné. Jeden roh je rovný (90 ^nebo) a ostatní jsou stejné (45 ^nebo každou)
• Rovnoramenný tupý trojúhelník: dvě jeho strany jsou stejné. Jeden z úhlů je tupý (> 90 ^nebo).
• Rovnoramenný ostrý trojúhelník: dvě jeho strany jsou stejné. Všechny úhly jsou ostré (<90 ^nebo), kde oba mají stejnou míru.

Komponenty

• Medián: je to čára, která začíná od středu jedné strany a dosahuje opačného vrcholu. Tři mediány se setkávají v bodě zvaném barycenter nebo centroid.
• Směrnice: je to paprsek, který dělí úhel každého vrcholu na dva úhly stejné míry. Proto je znám jako osa symetrie a tento typ trojúhelníků má pouze jeden.
• Směrnice: je to úsečka kolmá ke straně trojúhelníku, která má svůj původ uprostřed. V trojúhelníku jsou tři zprostředkovatelé a setkávají se v bodě zvaném circumcenter.
• Výška: je to linie, která vede z vrcholu na stranu, která je opačná, a také tato linie je kolmá k této straně. Všechny trojúhelníky mají tři výšky, které se shodují v bodě zvaném orthocenter.

Vlastnosti

Rovnoramenné trojúhelníky jsou definovány nebo identifikovány, protože mají několik vlastností, které je reprezentují, pocházející z vět navrhovaných velkými matematiky:

Vnitřní úhly

Součet vnitřních úhlů se vždy rovná 180 ^°.

Součet stran

Součet měr dvou stran musí být vždy větší než míra třetí strany, a + b> c.

Shodné strany

Rovnoramenné trojúhelníky mají dvě strany se stejnou mírou nebo délkou; to znamená, že jsou shodné a třetí strana se od nich liší.

Shodné úhly

Rovnoramenné trojúhelníky jsou známé také jako trojúhelníky isoangle, protože mají dva úhly, které mají stejnou míru (shodná). Ty jsou umístěny na základně trojúhelníku, naproti stranám, které mají stejnou délku.

Kvůli tomuto, věta byla vytvořena, která říká, že:

"Pokud má trojúhelník dvě shodné strany, budou také shodné úhly opačné." Pokud je tedy trojúhelník rovnoramenný, úhly jeho základen jsou shodné.

Příklad:

Následující obrázek ukazuje trojúhelník ABC. Nakreslením úsečky od vrcholu úhlu B k základně je trojúhelník rozdělen na dva stejné trojúhelníky BDA a BDC:

Tímto způsobem byl úhel vrcholu B také rozdělen do dvou stejných úhlů. Křižník je nyní společnou stranou (BD) mezi těmito dvěma novými trojúhelníky, zatímco strany AB a BC jsou shodné strany. Máme tedy případ kongruence ze strany, úhlu, ze strany (LAL).

To ukazuje, že úhly vrcholů A a C mají stejné měřítko, a také může být ukázáno, že protože trojúhelníky BDA a BDC jsou shodné, strany AD a DC jsou také shodné.

Výška, střední hodnota, křivka a křivka jsou náhodné

Čára, která je nakreslena od vrcholu protilehlého k základně ke středu základny rovnoramenného trojúhelníku, je zároveň výškou, středem a křižníkem, stejně jako křižovatkou vzhledem k opačnému úhlu základny.

Všechny tyto segmenty se shodují v jednom, který je zastupuje.

Příklad:

Následující obrázek ukazuje trojúhelník ABC se středem M, který dělí základnu na dva segmenty BM a CM.

Nakreslením segmentu z bodu M do protilehlého vrcholu se podle definice získá střední AM, což je relativní k vrcholu A a straně BC.

Jak segment AM rozděluje trojúhelník ABC na dva stejné trojúhelníky AMB a AMC, znamená to, že případ kongruenční strany, úhlu, strany bude mít, a proto AM bude také křižníkem BÂC.

Z tohoto důvodu bude křivka vždy stejná jako střední hodnota a naopak.

Segment AM vytváří úhly, které mají stejnou míru pro trojúhelníky AMB a AMC; to znamená, že se doplňují takovým způsobem, že měřítkem každého z nich bude:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^nebo

2 _* Med. (AMC) = 180 ^nebo

Med. (AMC) = 180 ^nebo ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^nebo

Může být známo, že úhly vytvořené segmentem AM vzhledem k základně trojúhelníku jsou správné, což naznačuje, že tento segment je zcela kolmý k základně.

Představuje tedy výšku a křižovatku s vědomím, že M je střed.

Proto řádek AM:

• Představuje ve výšce BC.
• Je střední velikost.
• Je obsažen v křižníku BC.
• Je to křivka úhlu vrcholu

Relativní výšky

Výšky, které jsou relativní ke stejným stranám, mají stejné měření.

Vzhledem k tomu, že rovnoramenný trojúhelník má dvě stejné strany, budou jejich dvě příslušné výšky stejné.

Ortocenter, barycenter, stimulátor a shodný obvod

Vzhledem k tomu, že výška, medián, křivka a křivka vzhledem k základně jsou současně reprezentovány stejným segmentem, budou ortocenter, střed barycenter a circumcenter kolineárními body, to znamená, že budou na stejné přímce:

Jak vypočítat obvod?

Obvod mnohoúhelníku se vypočítá sčítáním stran.

Stejně jako v tomto případě má rovnoramenný trojúhelník dvě strany se stejným měřítkem, jeho obvod se počítá podle následujícího vzorce:

P = 2 _* (strana a) + (strana b).

Jak vypočítat výšku?

Výška je čára kolmá k základně, rozděluje trojúhelník na dvě stejné části, protože se rozprostírá do protilehlého vrcholu.

Výška představuje protilehlou nohu (a), střed základny (b / 2) sousední nohu a strana „a“ představuje přetížení.

Pomocí Pythagorovy věty lze stanovit výšku:

a ² + b ² = c ²

Kde:

a ² = výška (h).

b ² = b / 2.

c ² = strana a.

Nahrazením těchto hodnot do pythagorovské věty a vyřešením výšky máme:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = ²

h ² = a ² - b ² /4

h = √ (a ² - b ² /4).

Je-li znám úhel tvořený shodnými stranami, lze výšku vypočítat podle následujícího vzorce:

Jak vypočítat oblast?

Plocha trojúhelníků se vždy počítá podle stejného vzorce, vynásobením základny výškou a dělením dvěma:

Existují případy, kdy jsou známa pouze měření dvou stran trojúhelníku a úhel mezi nimi. V tomto případě je pro stanovení plochy nutné použít trigonometrické poměry:

Jak vypočítat základnu trojúhelníku?

Protože rovnoramenný trojúhelník má dvě stejné strany, pro stanovení hodnoty jeho základny potřebujete znát alespoň míru výšky nebo jednoho z jeho úhlů.

Při znalosti výšky se používá Pythagorova věta:

a ² + b ² = c ²

Kde:

a ² = výška (h).

c ² = strana a.

b ² = b / 2, není známo.

Izolujeme b ² od vzorce a máme:

b ² = a ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Protože tato hodnota odpovídá polovině základny, musí být vynásobena dvěma, aby bylo dosaženo úplné míry základny rovnoramenného trojúhelníku:

b = 2 _* (√ a ² - c ²)

V případě, že je známa pouze hodnota stejných stran a úhel mezi nimi, je použita trigonometrie, která nakreslí čáru od vrcholu k základně, která rozdělí rovnoramenný trojúhelník na dva pravoúhlé trojúhelníky.

Tímto způsobem se vypočte polovina báze pomocí:

Je také možné, že je známa pouze hodnota výšky a úhlu vrcholu, která je naproti základně. V tomto případě lze trigonometricky stanovit základnu:

Cvičení

První cvičení

Najděte oblast rovnoramenného trojúhelníku ABC s vědomím, že dvě jeho strany jsou 10 cm a třetí strana je 12 cm.

Řešení

K nalezení oblasti trojúhelníku je nutné vypočítat výšku pomocí vzorce plochy, který souvisí s Pythagorovou větou, protože hodnota úhlu vytvořeného mezi stejnými stranami není známa.

Máme následující data rovnoramenného trojúhelníku:

• Rovné strany (a) = 10 cm.
• Základna (b) = 12 cm.

Hodnoty jsou nahrazeny vzorcem:

Druhé cvičení

Délka obou stejných stran rovnoramenného trojúhelníku je 42 cm, spojení těchto stran tvoří úhel 130 ^nebo. Určete hodnotu třetí strany, plochy tohoto trojúhelníku a obvodu.

Řešení

V tomto případě jsou známa měření stran a úhel mezi nimi.

Abychom znali hodnotu chybějící strany, tj. Základnu tohoto trojúhelníku, nakreslí se čára kolmá na ni, rozdělující úhel na dvě stejné části, jednu pro každý vytvořený pravoúhlý trojúhelník.

• Rovné strany (a) = 42 cm.
• Úhel (Ɵ) = 130 ^o

Nyní trigonometricky se vypočte hodnota poloviny základny, což odpovídá polovině přepážky:

Pro výpočet plochy je nutné znát výšku tohoto trojúhelníku, který lze vypočítat trigonometricky nebo pomocí Pythagorovy věty, nyní, když již byla stanovena hodnota báze.

Podle trigonometrie to bude:

Vypočítá se obvod:

P = 2 _* (strana a) + (strana b).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Třetí cvičení

Vypočítejte vnitřní úhly rovnoramenného trojúhelníku s vědomím, že úhel základny je  = 55 ^nebo

Řešení

Pro nalezení dvou chybějících úhlů (Ê a Ô) je třeba si pamatovat dvě vlastnosti trojúhelníků:

• Součet vnitřních úhlů každého trojúhelníku bude vždy = 180 ^nebo:

+ + Ê + Ô = 180 ^nebo

• V rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly základny vždy shodné, to znamená, že mají stejnou míru, proto:

 = Ô

Ê = 55 ^nebo

K určení hodnoty úhlu Ê nahradíme hodnoty ostatních úhlů v prvním pravidle a vyřešíme Ê:

55 ^nebo + 55 ^nebo + Ô = 180 ^nebo

110 ^nebo + Ô = 180 ^nebo

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o.

Reference

1. Álvarez, E. (2003). Prvky geometrie: s mnoha cvičeními a geometrií kompasu. University of Medellin.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Technický výkres: činnost notebook.
3. Angel, AR (2007). Elementární algebra. Pearsonovo vzdělávání.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearsonovo vzdělávání.
5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
6. José Jiménez, LJ (2006). Math 2.
7. Tuma, J. (1998). Příručka inženýrské matematiky. Wolfram MathWorld.