VÝSLEDNÝ VEKTOR: VÝPOČET, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Výsledný vektor je ten, získaný operace s vektory, jejichž výsledkem je rovněž vektor. Normálně je tato operace součtem dvou nebo více vektorů, pomocí kterých se získá vektor, jehož účinek je ekvivalentní.

Tímto způsobem se získají vektory, jako je výsledná rychlost, zrychlení nebo síla. Například když několik sil F ₁, F ₂, F ₃,… působí na tělo. vektorový součet všech těchto sil se rovná čisté síle (výsledné), která je matematicky vyjádřena takto:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R nebo F _N

Obrázek 1. Hmotnost sněhu je rozdělena na střechu a její působení může být nahrazeno jedinou výslednou silou působící na vhodném místě. Zdroj: Pixabay.

Výsledný vektor, ať už je to síla nebo jakákoli jiná velikost vektoru, je nalezen použitím pravidel přidání vektoru. Protože vektory mají směr a smysl a také číselnou hodnotu, nestačí přidat moduly, aby výsledný vektor měl.

To platí pouze v případě, kdy jsou zúčastněné vektory ve stejném směru (viz příklady). Jinak je nutné použít metody vektorového součtu, které v závislosti na případu mohou být geometrické nebo analytické.

Příklady

Geometrické metody pro nalezení výsledného vektoru jsou metoda posuvu a metoda rovnoběžníku.

Pokud jde o analytické metody, existuje složková metoda, pomocí níž lze nalézt vektor, který je výsledkem libovolného systému vektorů, pokud máme jeho kartézské složky.

Geometrické metody pro přidání dvou vektorů

Předpokládejme, že vektory u a v (označíme je tučným písmem, abychom je odlišili od skalárů). Na obrázku 2a) je máme umístěné v rovině. Na obrázku 2 b) byl přeložen do vektoru v takovým způsobem, že jeho původ se shoduje s koncem u. Výsledný vektor přechází od počátku prvního (u) na konec posledního (v):

Obrázek 2. Výsledný vektor z grafického součtu vektorů. Zdroj: vlastní výroba.

Výsledným číslem v tomto případě je trojúhelník (trojúhelník je 3stranný mnohoúhelník). Pokud máme dva vektory ve stejném směru, postup je stejný: umístěte jeden z vektorů za druhý a nakreslete ten, který jde od počátku nebo konce prvního až ke konci nebo konci posledního.

Všimněte si, že pořadí, ve kterém se tento postup provádí, nezáleží, protože součet vektorů je komutativní.

Také si všimněte, že v tomto případě je modul (délka nebo velikost) výsledného vektoru součtem modulů přidaných vektorů, na rozdíl od předchozího případu, ve kterém je modul výsledného vektoru menší než součet účastnické moduly.

Parallelogramová metoda

Tato metoda je velmi vhodná, když potřebujete přidat dva vektory, jejichž počáteční body se shodují, řekněme, s původem xy souřadnicového systému. Předpokládejme, že to platí pro naše vektory u a v (obrázek 3a):

Obrázek 3. Součet dvou vektorů pomocí metody rovnoběžníku s výsledným vektorem v tyrkysově modré barvě. Zdroj: vlastní výroba.

Na obrázku 3b) byl vytvořen rovnoběžník pomocí tečkovaných čar rovnoběžných s u a v. Výsledný vektor má svůj původ na O a jeho konec v bodě, kde se tečkované čáry protínají. Tento postup je zcela rovnocenný postupu popsanému v předchozí části.

Cvičení

-Cvičení 1

S ohledem na následující vektory vyhledejte výsledný vektor pomocí metody posuvu.

Obrázek 4. Vektory k nalezení jejich výsledného výsledku pomocí polygonální metody. Cvičení 1. Zdroj: vlastní zpracování.

Řešení

Metoda posuvu je první z viditelných metod. Pamatujte, že součet vektorů je komutativní (pořadí doplňků nemění součet), takže můžete začít jakýmkoli z vektorů, například u (obrázek 5a) nebo r (obrázek 5b):

Obrázek 5. Součet vektorů pomocí polygonální metody. Zdroj: vlastní výroba.

Obrázek získaný je polygon a výsledný vektor (modře) se nazývá R. Pokud začnete s jiným vektorem, tvar, který je vytvořen, se může lišit, jak je znázorněno v příkladu, ale výsledný vektor je stejný.

Cvičení 2

Na následujícím obrázku víme, že moduly vektorů uz i proti respektive jsou u = 3 libovolné jednotky a v = 1,8 arbitrární jednotky. Úhel, který u činí s kladnou osou x, je 45 °, zatímco v činí 60 ° s osou y, jak je vidět na obrázku. Najděte výsledný vektor, velikost a směr.

Řešení

V předchozí sekci byl výsledný vektor nalezen použitím metody rovnoběžníku (na obrázku tyrkysově).

Snadným způsobem, jak analyticky najít výsledný vektor, je vyjádřit přidané vektory z hlediska jejich karteziánských komponent, což je snadný úkol, když jsou známy modul a úhel, jako jsou vektory v tomto příkladu:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2,12

v _x = v. sin 60 ° = 1,8 x sin 60 ° = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

Vektory u a v jsou vektory, které patří do roviny, a proto mají každá dvě složky. Vektor u je v prvním kvadrantu a jeho složky jsou pozitivní, zatímco vektor v je ve čtvrtém kvadrantu; jeho složka x je kladná, ale její projekce na svislé ose padá na zápornou osu y.

Výpočet kartézských složek výsledného vektoru

Výsledný vektor je nalezen algebraickým přidáním příslušných složek xay, aby se získaly jejich kartézské složky:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Jakmile jsou kartézské komponenty specifikovány, je vektor plně známý. Výsledný vektor lze vyjádřit zápisem v závorce:

R = <3,68; 1,22> libovolné jednotky

Zápis v závorce se používá k rozlišení vektoru od bodu v rovině (nebo v prostoru). Dalším způsobem, jak analyticky vyjádřit výsledný vektor, je použití jednotkových vektorů i a j v rovině (i, j a k v prostoru):

R = 3,68 i + 1,22 j libovolné jednotky

Protože obě složky výsledného vektoru jsou pozitivní, patří vektor R k prvnímu kvadrantu, který byl již dříve graficky vidět.

Velikost a směr výsledného vektoru

Znát kartézské komponenty, velikost R se vypočítá pomocí Pythagorovy věty, protože výsledný vektor R, spolu se svými komponenty R _x a R _a tvoří pravoúhlý trojúhelník:

Velikost nebo modul: R = (3,68 ² + 1,22 ²) ¹ = 3,88

Směr q beroucí kladnou osu x jako referenci: q = arctan (_RY / R _x) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 °

Reference

1. Přidání vektorů a pravidel. Citováno z: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Series: Fyzika pro vědy a inženýrství. Svazek 1. Kinematika 31-68.
3. Fyzický. Modul 8: Vektory. Obnoveno z: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanika pro inženýry. Statický 6. vydání. Společnost Continental Publishing. 15-53.
5. Kalkulačka sčítání vektorů. Citováno z: www.1728.org