SOUBĚŽNÉ VEKTORY: CHARAKTERISTIKY, PŘÍKLADY A CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

V souběžné vektory jsou vektory skupiny, jejichž osy splývají v jednom místě, které tvoří mezi každým párem vnitřní a vnější jiného úhlu. Jasný příklad je vidět na obrázku níže, kde A, B a C jsou vektory souběžné navzájem.

D a E na rozdíl od ostatních nejsou. Mezi souběžnými vektory AB, AC a CB jsou vytvořeny úhly. Nazývají se vztahové úhly mezi vektory.

vlastnosti

-Mají společný bod, který se shoduje s jejich původem: všechny velikosti souběžných vektorů začínají od společného bodu k jejich příslušným koncům.

- Počátek je považován za místo působení vektoru: musí být stanoven akční bod, který bude přímo ovlivněn každým ze souběžných vektorů.

-Its domény v rovině a prostoru, je R ² a R ³ v tomto pořadí: souběžné vektory jsou zatím pokrýt celou geometrické místo.

-Umožňuje různé zápisy ve stejné skupině vektorů. Podle oborů studia jsou v operacích s vektory přítomny různé notace.

Typy vektorů

Větve vektorů mají více dílčích členění, mezi některými oni mohou být jmenováni: paralelní, kolmý, koplanární, odpovídající, protilehlý a unitární. Jsou zde uvedeny souběžné vektory a stejně jako všechny výše uvedené vektory mají mnoho aplikací v různých vědách.

Jsou velmi běžné při studiu vektorů, protože představují užitečné zobecnění při operacích s nimi. V rovině i ve vesmíru se souběžné vektory běžně používají k reprezentaci různých prvků a studování jejich vlivu na konkrétní systém.

Vektorové notace

Existuje několik způsobů, jak reprezentovat vektorový prvek. Hlavní a nejznámější jsou:

Kartézský

Navržený stejným matematickým přístupem označuje vektory s trojnásobkem odpovídajícím velikostem každé osy (x, y, z).

A: (1, 1, -1) Prostor A: (1, 1) Letadlo

Polární

Slouží pouze k označení vektorů v rovině, i když v integrálním počtu je přiřazena složka hloubky. Skládá se z lineární velikosti r a úhlu vzhledem k polární ose Ɵ.

A: (3, 45 ⁰) rovina A: (2, 45 ⁰, 3) mezera

Analytické

Definují velikost vektoru pomocí versorů. Versory (i + j + k) představují jednotkové vektory odpovídající osám X, Y a

A: 3i + 2j - 3k

Sférický

Jsou podobné polární notaci, ale s přidáním druhého úhlu zametajícího nad rovinou xy symbolizovanou δ.

A: (4, 60 ^nebo, π / 4)

Souběžné vektorové operace

Souběžné vektory se většinou používají k definování operací mezi vektory, protože je jednodušší porovnat prvky vektorů, když jsou prezentovány souběžně.

Součet (A + B)

Součet souběžných vektorů má za cíl najít výsledný vektor V _r. Což podle oboru odpovídá poslední akci

Například: 3 řetězce {A, B, C} jsou vázány na rámeček, každý konec řetězce je držen jedním předmětem. Každý ze 3 subjektů musí lano táhnout jiným směrem než ostatní 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ij + o + cy; az + bz + en) = V _r

Krabice bude schopen se pohybovat v jednom směru, tedy pouze V _r indikuje směr a směr pohybu tohoto boxu.

Rozdíl (A - B)

Existuje mnoho kritérií týkajících se rozdílu mezi vektory, mnoho autorů se rozhodlo vyloučit je a říci, že je stanovena pouze suma mezi vektory, kde rozdíl je o součtu opačného vektoru. Pravdou je, že vektory lze odečíst algebraicky.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Skalární produkt (A. B)

Také známý jako tečkový produkt, vytváří skalární hodnotu, která může souviset s různými veličinami v závislosti na oboru.

V případě geometrie uveďte plochu rovnoběžníku tvořenou dvojicí souběžných vektorů metodou rovnoběžníku. Pro mechanickou fyziku definuje práci vykonanou silou F při pohybu těla o vzdálenost Δr.

ѡ = F. Ar

Jak název napovídá, generuje skalární hodnotu a je definován následovně:

Nechť vektory A a B jsou

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Analytická forma:

(A. B) = -A -.- B-Coc 9

Kde 9 je vnitřní úhel mezi oběma vektory

- Algebraická forma:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Křížový produkt (A x B)

Vektor produkt nebo skalární součin dvou vektorů, definuje třetí vektor C, který má kvalitu je kolmá k B a C. Ve fyzice je momentový vektor τ základním prvkem rotační dynamiky.

-Analytická forma:

- A x B - = -A -.- B-.Sen 9

- Algebraická forma:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

- relativní pohyb: r _{A / B}

Základem relativity je relativní pohyb a souběžné vektory jsou základem relativního pohybu. Relativní pozice, rychlosti a zrychlení lze odvodit pomocí následujícího pořadí nápadů.

r _{A / B} = r _A - r _B; Relativní poloha A vzhledem k B

v _{A / B} = v _A - v _B; Relativní rychlost A vzhledem k B

a _{A / B} = a _A - a _B; Relativní zrychlení A vzhledem k B

Příklady: řešená cvičení

Cvičení 1

Nechť A, B a C jsou souběžné vektory.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Definujte Výsledný vektor V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2 A + (3b) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17), -Definujte tečkový produkt (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

- Vypočítejte úhel mezi A a C

(A. C) = -A -.- C-. Cos 9 kde 9 je nejkratší úhel mezi vektory

8 = 88,63 ⁰

- Najděte vektor kolmý na A a B

K tomu je nutné definovat vektorový produkt mezi (-1, 3, 5) a (3, 5, -2). Jak bylo vysvětleno dříve, je vytvořena matice 3 x 3, kde první řada se skládá z vektorů trojitých jednotek (i, j, k). Poté jsou z vektorů vytvořeny druhé a třetí řádky, které fungují, přičemž se respektuje provozní řád.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I- (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Cvičení 2

Nechť V _a a Vb _jsou vektory rychlosti A, respektive B. Vypočítejte rychlost B z A.

V _A = (3, 1, 5) V _b = (2, 5, -3)

V tomto případě je požadována relativní rychlost B vzhledem k A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Toto je vektor rychlosti B při pohledu z A. Kde je popsán nový vektor rychlosti B, přičemž se vezme reference od pozorovatele umístěného na A a pohybujícího se rychlostí A.

Navrhovaná cvičení

1-Postavte 3 vektory A, B a C, které jsou souběžné a vztahují se mezi nimi pomocí 3 praktických cvičení.

2-Nechť vektory A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) a C: (-2, -1, 10). Najděte vektory kolmé na: A a B, C a B, součet A + B + C.

4-Určete 3 vektory, které jsou vzájemně kolmé, aniž by byly brány v úvahu souřadné osy.

5-Definujte práci provedenou silou, která zvedá blok hmotnosti 5 kg od dna studny hluboké 20 metrů.

6 - Algebraicky ukážte, že odčítání vektorů se rovná součtu opačného vektoru. Zdůvodněte své postuláty.

7-Označte vektor ve všech zápisech vyvinutých v tomto článku. (Kartézská, polární, analytická a kulová).

8 - Magnetické síly vyvíjené na magnet, který spočívá na stole, jsou dány následujícími vektory; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Určete, kterým směrem se bude magnet pohybovat, pokud všechny magnetické síly působí současně.

Reference

1. Euklidovská geometrie a transformace. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1. ledna 2004
2. Jak řešit aplikované matematické problémy L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10. dubna 2013
3. Základní pojmy geometrie. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman a Littlefield, 4. října. 2012
4. Vektory. Rocío Navarro Lacoba, 7. června. 2014
5. Lineární algebra. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006