ÚHLOVÁ RYCHLOST: DEFINICE, VZOREC, VÝPOČET A CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Úhlová rychlost je měřítkem pro rychlost otáčení, a je definován jako úhel, který se otáčí na vektor pozice rotujícího předmětu, za jednotku času. Je to velikost, která velmi dobře popisuje pohyb mnoha objektů, které se neustále otáčí všude: CD, kola automobilu, stroje, Země a mnoho dalších.

Schéma «London Eye» je vidět na následujícím obrázku. Představuje pohyb cestujícího představovaný bodem P, který sleduje kruhovou cestu zvanou c:

Schematické znázornění kruhové trasy, po které cestující z „londýnského oka“ následuje. Zdroj: vlastní výroba.

Cestující zaujímá polohu P v okamžiku t a úhlová poloha odpovídající tomuto okamžiku je ϕ.

Od okamžiku t uplyne doba Δt. V tomto období je nová poloha bodového cestujícího P 'a úhlová poloha se zvětšila o úhel ϕϕ.

Jak se vypočítává úhlová rychlost?

Pro rotační množství jsou řecká písmena široce používána, aby byla odlišena od lineárních množství. Střední hodnota úhlové rychlosti ω _m je tedy zpočátku definována jako úhel ujetý v daném časovém období.

Potom kvocient ϕ / Δt bude představovat střední úhlovou rychlost ω _m mezi okamžiky t a t + Δt.

Pokud chcete vypočítat úhlovou rychlost právě v okamžiku t, musíte vypočítat poměr ϕϕ / Δt, když Δt ➡0:

Vztah mezi lineární a úhlovou rychlostí

Lineární rychlost v je kvocient mezi ujetou vzdáleností a časem potřebným k jejímu ujetí.

Na výše uvedeném obrázku je obloukem Δs. Tento oblouk je však úměrný ujetému úhlu a poloměru, přičemž je splněn následující vztah, který platí, pokud se v radiánech měří Δϕ:

Δs = r ・ Δϕ

Vydělíme-li předchozí výraz časovým odstupem Δt a vezmeme limit, když Δt ➡0, dostaneme:

v = r ・ ω

Rovnoměrný rotační pohyb

Na snímku je slavné „londýnské oko“, 135 m vysoké točící se kolo, které se otáčí pomalu, aby si lidé mohli nalodit kabiny na základně a užít si scenérii Londýna. Zdroj: Pixabay.

Rotační pohyb je rovnoměrný, pokud je v jakémkoli pozorovaném okamžiku ujetý úhel stejný ve stejném časovém období.

Pokud je rotace rovnoměrná, pak se úhlová rychlost v kterémkoli okamžiku kryje se střední úhlovou rychlostí.

Kromě toho, když je provedeno úplné otočení, ujetý úhel je 2π (odpovídá 360 °). Proto je při rovnoměrné rotaci úhlová rychlost ω vztažena k periodě T podle následujícího vzorce:

f = 1 / T

To znamená, že při rovnoměrné rotaci souvisí úhlová rychlost s frekvencí:

ω = 2π ・ f

Řeší problémy úhlové rychlosti

Cvičení 1

Kabiny velkého točivého kola známého jako „London Eye“ se pohybují pomalu. Rychlost kabin je 26 cm / sa kolo má průměr 135 metrů.

Pomocí těchto údajů vypočítejte:

i) úhlová rychlost kola

ii) frekvence otáčení

iii) Čas potřebný k úplnému otočení kabiny.

Odpovědi:

i) Rychlost v v m / s je: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

Poloměr je polovina průměru: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x ^10-4 otáček / s

f = 6,13 x 10 ^ -4 otáčky / s = 0,0368 otáčky / min = 2,21 otáčky / hodinu.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 kolo / hodina = 0,455311 hodina = 27 minut 11 sekund

Cvičení 2

Autíčko se pohybuje po kruhové dráze s poloměrem 2 m. V 0 s je jeho úhlová poloha 0 rad, ale po čase t je jeho úhlová poloha dána:

φ (t) = 2 ・ t

Určit:

i) úhlová rychlost

ii) lineární rychlost v každém okamžiku.

Odpovědi:

i) Úhlová rychlost je derivát úhlové polohy: ω = φ '(t) = 2.

Jinými slovy, autíčko má vždy konstantní úhlovou rychlost rovnou 2 rad / s.

ii) Lineární rychlost vozu je: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 km / h

Cvičení 3

Stejné auto z předchozího cvičení se zastaví. Jeho úhlová poloha jako funkce času je dána následujícím výrazem:

φ (t) = 2 · t - 0,5 · t ²

Určit:

i) úhlová rychlost v každém okamžiku

ii) lineární rychlost v každém okamžiku

iii) Čas potřebný k zastavení od okamžiku, kdy začne zpomalovat

iv) Úhel se zdvihl

v) ujetá vzdálenost

Odpovědi:

i) Úhlová rychlost je odvozením úhlové polohy: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ²)' = 2 - t

ii) Lineární rychlost vozidla v kterémkoli okamžiku je dána:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) Čas potřebný k zastavení od okamžiku, kdy se začne zpomalovat, je určen vědomím okamžiku, ve kterém se rychlost v (t) stane nulou.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

To znamená, že se zastaví 2 s po zahájení brzdění.

iv) Během 2 s, od okamžiku, kdy začne brzdit, až do zastavení, se úhel zadaný φ (2) pohybuje:

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 stupňů

v) Během 2 s od začátku brzdění do zastavení ujetá vzdálenost s je dána:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Cvičení 4

Kola automobilu mají průměr 80 ​​cm. Pokud vůz jede rychlostí 100 km / h. Najděte: i) úhlovou rychlost otáčení kol, ii) frekvenci otáčení kol, iii) počet otáček, které kolo udělá během 1 hodiny jízdy.

Odpovědi:

i) Nejprve se chystáme převést rychlost automobilu z Km / h na h / s

v = 100 km / h = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

Úhlová rychlost otáčení kol je dána:

w = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) Frekvence otáčení kol je dána:

f = w / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 ot / s

Frekvence rotace je obvykle vyjádřena v otáčkách za minutu za minutu

f = 11,05 otáček / s = 11,05 otáček / (1/60) min = 663,15 ot / min

iii) Počet kol, které kolo udělá během jedné hodiny jízdy, se vypočítá s vědomím, že 1 hodina = 60 min a že frekvence je počet kol N vydělený časem, ve kterém jsou tyto N kola provedeny.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (ot / min) x 60 min = 39788,7 ot.

Reference

1. Giancoli, D. Fyzika. Principy s aplikacemi. 6. vydání. Prentice Hall. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Fyzický. Svazek 1. Třetí vydání ve španělštině. Mexiko. Compañía Editorial Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fyzika pro vědu a techniku. Svazek 1. 7. Edice. Mexiko. Cengage Learning Editors. 84-85.
4. geogebra.org