OKAMŽITÁ RYCHLOST: DEFINICE, VZOREC, VÝPOČET A CVIČENÍ - FYZICKÝ - 2025

Okamžitá rychlost je definována jako okamžitá změna časového posunu. Je to koncept, který do studia pohybu přidává velkou přesnost. A je to pokrok s ohledem na průměrnou rychlost, jejíž informace jsou velmi obecné.

Chcete-li získat okamžitou rychlost, podívejme se na co nejmenší časový interval. Diferenciální počet je perfektním nástrojem pro matematické vyjádření této myšlenky.

Okamžitá rychlost ukazuje rychlost mobilního telefonu v každém bodě jeho cesty. Zdroj: Pixabay.

Výchozím bodem je průměrná rychlost:

Tento limit je známý jako derivát. V zápisu diferenciálního počtu máme:

Dokud je pohyb omezen na přímou linii, lze upustit od vektorového zápisu.

Výpočet okamžité rychlosti: geometrická interpretace

Následující obrázek ukazuje geometrickou interpretaci derivátového konceptu: je to sklon tečné čáry k křivce x (t) vs. t v každém bodě.

Okamžitá rychlost na P se numericky rovná sklonu tečné čáry ke křivce x vs. t v bodě P. Zdroj: Zdroj: す じ に く シ チ ュ ー.

Dokážete si představit, jak dosáhnout limitu, pokud se k bodu Q přistupuje kousek po kousku k bodu P. Nastane čas, kdy jsou oba body tak blízko, že je nelze od sebe odlišit.

Čára, která se k nim připojí, přejde ze secantu (linie, která se protíná ve dvou bodech), na tečnou (linie, která se dotýká křivky pouze v jednom bodě). Proto, abychom našli okamžitou rychlost pohybující se částice, měli bychom mít:

• Graf polohy částice jako funkce času. Zjistíme-li sklon tečné čáry ke křivce v každém okamžiku, máme okamžitou rychlost v každém bodě, který částice zaujímá.

Dobře:

• Polohová funkce částice x (t), která je odvozena pro získání funkce rychlosti v (t), je tato funkce vyhodnocena v každém okamžiku t, podle potřeby. Předpokládá se, že polohová funkce je diferencovatelná.

Některé speciální případy při výpočtu okamžité rychlosti

- Sklon tečné čáry k křivce na P je 0. Nulový sklon znamená, že mobil je zastaven a jeho rychlost je samozřejmě 0.

- Sklon tečné čáry k křivce na P je větší než 0. Rychlost je kladná. Ve výše uvedeném grafu to znamená, že se mobil pohybuje od O.

- Sklon tečné čáry ke křivce na P je menší než 0. Rychlost by byla záporná. Ve výše uvedeném grafu takové body neexistují, ale v tomto případě by se částice blížila k O.

- Sklon tečné čáry ke křivce je konstantní v P a ve všech ostatních bodech. V tomto případě je graf přímou čarou a mobil má rovnoměrný přímočarý pohyb MRU (jeho rychlost je konstantní).

Obecně je funkce v (t) také funkcí času, která zase může mít derivaci. Co kdyby nebylo možné najít derivace funkcí x (t) a v (t)?

V případě x (t) se může stát, že sklon - okamžitá rychlost - se náhle změní znaménko. Nebo že by to okamžitě přecházelo z nuly na jinou hodnotu.

Pokud ano, graf x (t) by ukazoval body nebo rohy v místech náhlých změn. Velmi se liší od případu znázorněného na předchozím obrázku, kde křivka x (t) je hladká křivka, bez bodů, rohů, nespojitosti nebo prudkých změn.

Pravda je, že pro skutečné mobily jsou hladké křivky ty, které nejlépe reprezentují chování objektu.

Hnutí obecně je docela složité. Mobilní telefony lze na chvíli zastavit, zrychlit z klidu na rychlost a pohybovat se od výchozího bodu, udržovat rychlost na chvíli, poté brzdu zastavit znovu a tak dále.

Opět mohou začít znovu a pokračovat stejným směrem. Buď použijte zpětný chod a zpět. Toto se nazývá různorodý pohyb v jedné dimenzi.

Zde je několik příkladů výpočtu okamžité rychlosti objasní použití daných definic:

Řešená cvičení okamžité rychlosti

Cvičení 1

Částice se pohybuje po přímce s následujícím zákonem pohybu:

Všechny jednotky jsou v mezinárodním systému. Nalézt:

a) Pozice částice při t = 3 sekundy.

b) Průměrná rychlost v intervalu mezi t = 0 sa t = 3 s.

c) Průměrná rychlost v intervalu mezi t = 0 sa t = 3 s.

d) Okamžitá rychlost částice z předchozí otázky, t = 1 s.

Odpovědi

a) K nalezení polohy částice se hodnotí pohybový zákon (polohová funkce) při t = 3:

x (3) = (-4/3) 0,3 ³ + 2 3 ² ₊ 6,3 až 10 m = -10 m

Není problém, že je pozice záporná. Znak (-) označuje, že částice je nalevo od počátku O.

b) Při výpočtu průměrné rychlosti jsou požadovány konečné a počáteční polohy částice v uvedených časech: x (3) a x (0). Pozice v t = 3 je x (3) a je známa z předchozího výsledku. Poloha při t = 0 sekund je x (0) = -10 m.

Protože konečná poloha je stejná jako počáteční poloha, je okamžitě učiněno, že střední rychlost je 0.

c) Průměrná rychlost je poměr mezi ujetou vzdáleností a časem. Nyní je vzdálenost modulem nebo velikostí posunutí:

vzdálenost = -x2 - x1- = -10 - (-10) - m = 20 m

Uvědomte si, že ujetá vzdálenost je vždy kladná.

v _{m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s}

d) Zde je nutné najít první derivát pozice s ohledem na čas. Potom se vyhodnotí t = 1 sekunda.

x '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4,1 ² + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s

Cvičení 2

Níže je uveden graf polohy mobilního telefonu jako funkce času. Najděte okamžitou rychlost při t = 2 sekundy.

Graf polohy v závislosti na čase pro mobilní zařízení. Zdroj: vlastní výroba.

Odpověď

Nakreslete tečnou čáru do křivky v čase t = 2 sekundy, poté najděte její sklon a vezměte na ni dva body.

Chcete-li vypočítat okamžitou rychlost v označeném bodě, nakreslete tečnu k tomuto bodu a najděte její sklon. Zdroj: vlastní výroba.

V tomto příkladu vezmeme dva snadno vizualizovatelné body, jejichž souřadnice jsou (2 s, 10 m) a řez svislou osou (0 s, 7 m):

Reference

1. Giancoli, D. Fyzika. Principy s aplikacemi. 6 ^th Edition. Prentice Hall. 22-25.
2. Resnick, R. (1999). Fyzický. Svazek 1. Třetí vydání ve španělštině. Mexiko. Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Fyzika pro vědu a techniku. Objem ^{1,7 ma}. Edice. Mexiko. Cengage Learning Editors. 23-25.