JAK ZJISTÍTE OBLAST PĚTIÚHELNÍKU? - MATEMATIKA - 2025

Plocha pětiúhelníku je vypočtena za použití metody známé jako triangulace, který může být aplikován na jakékoliv polygonu. Tato metoda spočívá v rozdělení pětiúhelníku na několik trojúhelníků.

Poté se vypočte plocha každého trojúhelníku a nakonec se přidají všechny nalezené oblasti. Výsledkem bude oblast pětiúhelníku.

Pětiúhelník lze také rozdělit na jiné geometrické tvary, jako je lichoběžník a trojúhelník, jako je obrázek vpravo.

Problém je v tom, že délka větší základny a výška lichoběžníku nelze snadno spočítat. Rovněž se musí vypočítat výška červeného trojúhelníku.

Jak najít oblast pětiúhelníku?

Obecnou metodou pro výpočet plochy pětiúhelníku je triangulace, ale metoda může být přímá nebo trochu delší v závislosti na tom, zda je pětiúhelník pravidelný nebo ne.

Oblast běžného pětiúhelníku

Před výpočtem oblasti je nutné vědět, co je apothem.

Apothem pravidelného pětiúhelníku (pravidelný mnohoúhelník) je nejmenší vzdálenost od středu pětiúhelníku (mnohoúhelník) do středu jedné strany pětiúhelníku (mnohoúhelník).

Jinými slovy, apothem je délka úsečky, která jde ze středu pětiúhelníku do středu jedné strany.

Uvažujme pravidelný pětiúhelník tak, že délka jeho stran je „L“. Chcete-li vypočítat jeho apotém, nejprve vydělte středový úhel α počtem stran, tj. Α = 360 ° / 5 = 72 °.

Nyní se pomocí trigonometrických poměrů vypočítá délka apothemu, jak je znázorněno na následujícím obrázku.

Proto má apothem délku L / 2tan (36 °) = L / 1,45.

Triangulací pětiúhelníku se získá číslo podobné níže uvedenému.

Všech 5 trojúhelníků má stejnou oblast (jako pravidelný pětiúhelník). Proto je plocha pětiúhelníku 5krát větší než plocha trojúhelníku. To znamená: plocha pětiúhelníku = 5 * (L * ap / 2).

Nahrazením hodnoty apothem získáme, že plocha je A = 1,72 * L².

Proto pro výpočet plochy běžného pětiúhelníku stačí znát délku jedné strany.

Oblast nepravidelného pětiúhelníku

Vycházíme z nepravidelného pětiúhelníku tak, že délky jeho stran jsou L1, L2, L3, L4 a L5. V tomto případě nelze apotém použít jako dříve.

Po provedení triangulace se získá následující číslo:

Nyní začneme kreslit a vypočítat výšky těchto 5 vnitřních trojúhelníků.

Takže oblasti vnitřních trojúhelníků jsou T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 a T5 = L5 * h5 / 2.

Hodnoty pro h1, h2, h3, h4 a h5 jsou výšky každého trojúhelníku.

Nakonec je plocha pětiúhelníku součtem těchto 5 oblastí. To znamená, že A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Jak vidíte, výpočet oblasti nepravidelného pětiúhelníku je složitější než výpočet oblasti běžného pětiúhelníku.

Gaussovský determinant

Existuje také další metoda, pomocí které lze vypočítat plochu libovolného nepravidelného polygonu, známého jako Gaussovský determinant.

Tato metoda spočívá v kreslení polygonu na karteziánskou rovinu, poté se vypočítají souřadnice každého vrcholu.

Vrcholy jsou sečteny proti směru hodinových ručiček a nakonec jsou vypočteny určité determinanty, aby se konečně získala plocha dotyčného polygonu.

Reference

1. Alexander, DC, a Koeberlein, GM (2014). Elementární geometrie pro studenty vysokých škol. Cengage Learning.
2. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearsonovo vzdělávání.
3. Lofret, EH (2002). Kniha tabulek a vzorců / Kniha multiplikačních tabulek a vzorců. Nápaditý.
4. Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Praktická matematika: aritmetika, algebra, geometrie, trigonometrie a posuvné pravidlo (dotisk ed.). Reverte.
5. Posamentier, AS, a Bannister, RL (2014). Geometrie, její prvky a struktura: Druhé vydání. Courier Corporation.
6. Quintero, AH, & Costas, N. (1994). Geometrie. Editorial, UPR.
7. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. Editorial Tecnologica de CR.
8. Torah, FB (2013). Matematika. 1. didaktická jednotka 1. ESO, Svazek 1. Redakční klub Universitario.
9. Víquez, M., Arias, R., & Araya, J. (sf). Matematika (šestý rok). EUNED.