NEZÁVISLÉ UDÁLOSTI: DEMONSTRACE, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - DUDAS - 2025

Dvě události jsou nezávislé, když pravděpodobnost, že k jedné z nich dojde, není ovlivněna skutečností, že k druhé dojde - nebo nenastane -, vzhledem k tomu, že k těmto událostem dochází náhodně.

Tato okolnost nastane, kdykoli proces, který generuje výsledek události 1, nemění žádným způsobem pravděpodobnost možných výsledků události 2. Ale pokud k tomu nedojde, jsou tyto události označeny jako závislé.

Obrázek 1. Barevné kuličky se často používají k vysvětlení pravděpodobnosti nezávislých událostí. Zdroj: Pixabay.

Nezávislá situace je následující: Předpokládejme, že se hodí dvě šestistranné kostky, jedna modrá a druhá růžová. Pravděpodobnost, že se 1 hodí na modrou matrici, je nezávislá na pravděpodobnosti, že se a 1 hodí na růžovou matrici.

Dalším případem dvou nezávislých událostí je to, že hodí minci dvakrát za sebou. Výsledek prvního hodu nebude záviset na výsledku druhého a naopak.

Důkaz dvou nezávislých událostí

Pro ověření, že jsou dvě události nezávislé, definujeme pojem podmíněná pravděpodobnost jedné události s ohledem na druhou. Proto je nutné rozlišovat mezi exkluzivními a inkluzivními událostmi:

Výjimkou jsou dvě události, pokud možné hodnoty nebo prvky události A nemají nic společného s hodnotami nebo prvky události B.

Proto ve dvou exkluzivních událostech je průsečík A s B vakuem:

S výjimkou událostí: A∩B = Ø

Naopak, pokud jsou události inkluzivní, může se stát, že výsledek události A se také shoduje s výsledkem jiného B, přičemž A a B jsou různé události. V tomto případě:

Inkluzivní akce: A∩B ≠ Ø

To nás vede k definování podmíněné pravděpodobnosti dvou inkluzivních událostí, jinými slovy pravděpodobnosti výskytu události A, kdykoli dojde k události B:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Podmíněná pravděpodobnost je proto pravděpodobnost, že A a B nastane, dělená pravděpodobností, že nastane B. Pravděpodobnost, že B nastane podmíněně na A, může být také definována:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Kritéria vědět, zda jsou dvě události nezávislé

Dále dáme tři kritéria, abychom věděli, zda jsou dvě události nezávislé. Stačí, když je splněna jedna ze tří, aby byla prokázána nezávislost událostí.

1.- Pokud je pravděpodobnost, že A nastane, kdykoli nastane B, stejná jako pravděpodobnost A, pak se jedná o nezávislé události:

P (A¦B) = P (A) => A je nezávislé na B

2.- Pokud je pravděpodobnost, že B nastane při A, stejná jako pravděpodobnost B, pak existují nezávislé události:

P (B¦A) = P (B) => B je nezávislé na A

3.- Pokud je pravděpodobnost výskytu A a B stejná jako součin pravděpodobnosti, že A nastane, a pravděpodobnosti, že nastane B, jedná se o nezávislé události. Opak je také pravdivý.

P (A∩B) = P (A) P (B) A = B jsou nezávislé události.

Příklady nezávislých událostí

Porovná se gumová podrážka vyrobená dvěma různými dodavateli. Vzorky od každého výrobce jsou podrobeny několika zkouškám, z nichž se vyvozuje, zda jsou v rámci specifikací.

Obrázek 2. Různé podešve z gumy. Zdroj: Pixabay.

Výsledné shrnutí 252 vzorků je následující:

Výrobce 1; 160 splňuje specifikace; 8 nesplňují specifikace.

Výrobce 2; 80 splňuje specifikace; 4 nesplňují specifikace.

Událost A: „že vzorek je od výrobce 1“.

Událost B: „že vzorek splňuje specifikace.“

Chceme vědět, zda jsou tyto události A a B nezávislé nebo ne, pro které uplatňujeme jedno ze tří kritérií uvedených v předchozí části.

Kritérium: P (B¦A) = P (B) => B je nezávislé na A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B = A) = P (A = B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Závěr: Události A a B jsou nezávislé.

Předpokládejme událost C: "že vzorek pochází od výrobce 2"

Bude událost B nezávislá na události C?

Aplikujeme jedno z kritérií.

Kritérium: P (B¦C) = P (B) => B je nezávislé na C

P (B = C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Na základě dostupných údajů je proto pravděpodobnost, že náhodně vybraná gumová podešev splňuje specifikace, nezávislá na výrobci.

Převeďte nezávislou událost na závislou událost

Pojďme se podívat na následující příklad a rozlišit mezi závislými a nezávislými událostmi.

Máme tašku se dvěma bílými čokoládovými kuličkami a dvěma černými kuličkami. Pravděpodobnost získání bílé koule nebo černé koule je při prvním pokusu stejná.

Předpokládejme, že výsledkem byla narážka. Pokud je nakreslená koule vyměněna v sáčku, původní situace se opakuje: dvě bílé koule a dvě černé koule.

Takže ve druhé události nebo remízě jsou šance na remízu na bílou nebo černou kouli stejné jako poprvé. Jsou tedy nezávislými událostmi.

Ale pokud se tágo, které bylo nakresleno v první akci, nenahrazuje, protože jsme ho snědli, ve druhém tahu jsou větší šance na černou kouli. Pravděpodobnost, že druhá extrakce znovu získá bílou, se liší od pravděpodobnosti první události a je podmíněna předchozím výsledkem.

Cvičení

- Cvičení 1

Do krabice jsme vložili 10 kuliček z obrázku 1, z nichž 2 jsou zelené, 4 jsou modré a 4 jsou bílé. Náhodně budou vybrány dvě kuličky, jedna první a druhá později. Je žádáno, aby se zjistila

pravděpodobnost, že žádná z nich nebude modrá, za následujících podmínek:

a) Při nahrazení, tj. vrácení prvního mramoru před druhým výběrem do pole. Uveďte, zda se jedná o nezávislé nebo závislé události.

b) Bez náhrady takovým způsobem, aby byl první vytažený mramor vyřazen z pole v okamžiku provedení druhého výběru. Podobně uveďte, zda se jedná o závislé nebo nezávislé události.

Řešení

Vypočítáme pravděpodobnost, že první extrahovaný mramor není modrý, což je 1 mínus pravděpodobnost, že je modrý P (A), nebo přímo, že není modrý, protože vyšel zelený nebo bílý:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (nebýt modrý) = 1 - (2/5) = 3/5

Dobře:

P (zelená nebo bílá) = 6/10 = 3/5.

Pokud je extrahovaný mramor vrácen, je vše jako předtím. V tomto druhém tahu je také pravděpodobnost 3/5, že mramorovaný tah není modrý.

P (ne modrá, ne modrá) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Události jsou nezávislé, protože extrahovaný mramor byl vrácen do pole a první událost neovlivňuje pravděpodobnost výskytu druhého.

B. Řešení

Při první extrakci postupujte stejně jako v předchozí části. Pravděpodobnost, že není modrá, je 3/5.

Pro druhou extrakci máme v sáčku 9 kuliček, protože první se nevrátila, ale nebyla modrá, proto v sáčku je 9 kuliček a 5 ne modré:

P (zelená nebo bílá) = 5/9.

P (žádný není modrý) = P (první ne modrý). P (druhý ne modrý / první ne modrý) = (3/5). (5/9) = 1/3

V tomto případě to nejsou nezávislé události, protože první událost je podmínkou druhé.

- Cvičení 2

Obchod má 15 košil ve třech velikostech: 3 malé, 6 střední a 6 velké. Náhodně jsou vybrána 2 košile.

a) Jaká je pravděpodobnost, že obě vybrané košile jsou malé, pokud je jedna odebrána jako první a aniž by v šarži nahradila jinou?

b) Jaká je pravděpodobnost, že obě vybrané košile jsou malé, pokud je jedna vytažena jako první, jsou nahrazeny v šarži a druhé je odstraněno?

Řešení

Zde jsou dvě události:

Událost A: první vybrané tričko je malé

Událost B: druhé vybrané tričko je malé

Pravděpodobnost výskytu události A je: P (A) = 3/15

Pravděpodobnost, že nastane událost B, je: P (B) = 2/14, protože tričko již bylo odstraněno (14 zbývá), ale navíc se má splnit událost A, první odstraněné tričko musí být malé, a proto oba jsou 2 malí.

To znamená, že pravděpodobnost, že A a B budou výsledkem pravděpodobností, je:

P (A a B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Pravděpodobnost, že nastane událost A a B, se tedy rovná produktu, ke kterému dojde A, násobí pravděpodobnost, že k události B dojde, pokud dojde k události A.

Je třeba poznamenat, že:

P (B¦A) = 2/14

Pravděpodobnost, že k události B dojde bez ohledu na to, zda k události A dojde nebo ne, bude:

P (B) = (2/14), pokud byl první malý, nebo P (B) = 3/14, pokud nebyl první malý.

Obecně lze dospět k závěru:

P (B¦A) není rovno P (B) => B není nezávislé na A

B. Řešení

Opět existují dvě události:

Událost A: první vybrané tričko je malé

Událost B: druhé vybrané tričko je malé

P (A) = 3/15

Nezapomeňte, že ať je výsledek jakýkoli, košile vytažená ze šarže je vyměněna a košile je opět nakreslena náhodně. Pravděpodobnost, že nastane událost B, pokud nastala událost A, je:

P (B¦A) = 3/15

Pravděpodobnost výskytu událostí A a B bude:

P (A a B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Všimněte si, že:

P (B¦A) se rovná P (B) => B je nezávislé na A.

- Cvičení 3

Zvažte dvě nezávislé události A a B. Je známo, že pravděpodobnost, že nastane událost A, je 0,2 a pravděpodobnost, že nastane událost B, je 0,3. Jaká je pravděpodobnost, že k oběma událostem dojde?

Řešení 2

Je známo, že tyto události jsou nezávislé, je známo, že pravděpodobnost, že k oběma událostem dojde, je produktem jednotlivých pravděpodobností. To znamená, P (A - B) = P (A) P (B) = 0,2 x 0,3 = 0,06

Všimněte si, že je pravděpodobnost mnohem menší než pravděpodobnost, že ke každé události dojde bez ohledu na výsledek druhé. Nebo jinými slovy, mnohem nižší než individuální šance.

Reference

1. Berenson, M. 1985. Statistiky pro management a ekonomiku. Interamericana SA 126-127.
2. Monterreyův institut. Pravděpodobnost nezávislých událostí. Obnoveno z: monterreyinstitute.org
3. Učitel matematiky. Nezávislé události. Obnoveno z: youtube.com
4. Superprof. Typy událostí, závislé události. Obnoveno z: superprof.es
5. Virtuální tutor. Pravděpodobnost. Obnoveno z: vitutor.net
6. Wikipedia. Nezávislost (pravděpodobnost). Obnoveno z: wikipedia.com