NÁHODNÝ EXPERIMENT: KONCEPT, UKÁZKOVÝ PROSTOR, PŘÍKLADY - DUDAS - 2025

Mluvíme o náhodném experimentu, když výsledek každého konkrétního pokusu je nepředvídatelný, i když lze určit pravděpodobnost výskytu určitého výsledku.

Mělo by však být vyjasněno, že není možné reprodukovat stejný výsledek náhodného systému se stejnými parametry a počátečními podmínkami v každé studii experimentu.

Obrázek 1. Role kostek je náhodný experiment. Zdroj: Pixabay.

Dobrým příkladem náhodného experimentu je válcování formy. I když je věnována pozornost tomu, aby se matrice valila stejným způsobem, každý pokus přinese nepředvídatelný výsledek. Ve skutečnosti jediné, co lze říci, je, že výsledkem může být jedno z následujících: 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6.

Házení mince je dalším příkladem náhodného experimentu, který má pouze dva možné výsledky: hlavy nebo ocasy. Ačkoli je mince hozena ze stejné výšky a stejným způsobem, faktor náhodnosti bude vždy přítomen, což vede k nejistotě při každém novém pokusu.

Opakem náhodného experimentu je deterministický experiment. Například je známo, že pokaždé, když se voda vaří na hladině moře, je teplota varu 100 ° C. Nikdy se však nestane, že při dodržení stejných podmínek je výsledek někdy 90 ° C, dalších 12 0 ° C a někdy 100 ° C.

Ukázkový prostor

Soubor všech možných výsledků náhodného experimentu se nazývá vzorkovací prostor. V náhodném experimentu válcování formy je prostor vzorku:

D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Na druhé straně je v házení mince vzorový prostor:

M = {hlavy, ocasy}.

Událost nebo výskyt

V náhodném experimentu je událost výskytem či nikoli určitého výsledku. Například v případě převrácení mince je událostí nebo událostí to, že se objeví hlavy.

Další událostí v náhodném experimentu by mohlo být následující: že na matrici se válí číslo menší nebo rovno třem.

V případě, že dojde k události, pak sada možných výsledků je sada:

E = {1, 2, 3}

Toto je zase podmnožina vzorového prostoru nebo sady:

M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Příklady

Níže uvádíme několik příkladů, které ilustrují výše uvedené:

Příklad 1

Předpokládejme, že se hodí dvě mince, jedna za druhou. Ptá se:

a) Uveďte, zda se jedná o náhodný experiment nebo naopak deterministický experiment.

b) Jaký je vzorkový prostor S tohoto experimentu?

c) Uveďte soubor událostí A, který odpovídá výsledku experimentu jako hlavy a ocasy.

d) Vypočtěte pravděpodobnost výskytu události A.

e) Nakonec zjistěte pravděpodobnost výskytu události B: ve výsledku se neobjeví žádné hlavy.

Řešení

Taška obsahuje 10 bílých kuliček a 10 černých kuliček. Náhodně a bez pohledu dovnitř se z vaku vytahují tři kuličky.

a) Určete prostor vzorku pro tento náhodný experiment.

b) Určete sadu výsledků odpovídající události A, která spočívá v tom, že po experimentu mají dvě černé kuličky.

c) Událost B má získat alespoň dvě černé kuličky, určit soubor B výsledků pro tuto událost.

d) Jaká je pravděpodobnost, že dojde k události A?

e) Najděte pravděpodobnost výskytu události B.

f) Určete pravděpodobnost, že výsledkem náhodného experimentu bude, že máte alespoň jeden černý mramor. Tato událost se bude jmenovat C.

Obrázek 2. Černé a bílé kuličky pro náhodné experimenty. Zdroj: Needpix.

Řešení

Pro vytvoření vzorového prostoru je užitečné vytvořit stromový diagram, jako je diagram na obrázku 3:

Obrázek 3. Stromový diagram například 2. Připravil Fanny Zapata.

Množina možných výsledků vytažení tří kuliček z vaku se stejným počtem černých a bílých kuliček je přesně vzorkem tohoto náhodného experimentu.

Ω = {(b, b, b), (b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

B. Řešení

Sada možných výsledků odpovídajících události A, která se skládá ze dvou černých kuliček, je:

A = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b)}

Řešení c

Událost B je definována jako: „mít alespoň dvě černé kuličky poté, co náhodně nakreslila tři z nich.“ Sada možných výsledků pro událost B je:

B = {(b, n, n), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

Řešení d

Pravděpodobnost výskytu události A je kvocient mezi počtem možných výstupů pro tuto událost a celkovým počtem možných výsledků, tj. Počtem prvků ve vzorku.

P (A) = n (A) / n (Ω) = 3/8 = 0,375 = 37,5%

Existuje tedy pravděpodobnost, že budou mít dvě černé kuličky po náhodném vytažení tří kuliček z vaku 37,5%. Upozorňujeme však, že v žádném případě nemůžeme předpovědět přesný výsledek experimentu.

E. Řešení

Pravděpodobnost výskytu události B, spočívající v získání alespoň jednoho černého mramoru, je:

P (B) = n (B) / n (Ω) = 4/8 = 0,5 = 50%

To znamená, že možnost výskytu události B je stejná jako pravděpodobnost, že k ní nedojde.

F. Řešení

Pravděpodobnost získání alespoň jednoho černého mramoru po vylosování tří z nich se rovná 1 mínus pravděpodobnost, že výsledkem budou „tři bílé kuličky“.

P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0,875 = 87,5%

Nyní můžeme zkontrolovat tento výsledek a poznamenat, že počet možností pro událost C je stejný jako počet prvků možných výsledků pro událost C:

C = {(b, b, n), (b, n, b), (b, n, n), (n, b, b), (n, b, n), (n, n, b), (n, n, n)}

n (C) = 7

P (C) = n (C) / n (Ω) = ⅞ = 87,5%

Reference

1. CanalPhi. Náhodný experiment. Obnoveno z: youtube.com.
2. MateMovil. Náhodný experiment. Obnoveno z: youtube.com
3. Pishro Nick H. Úvod do pravděpodobnosti. Obnoveno z: probabilitycourse.com
4. Ross. Pravděpodobnost a statistika pro inženýry. Mc-Graw Hill.
5. Wikipedia. Experiment (teorie pravděpodobnosti). Obnoveno z: en.wikipedia.com
6. Wikipedia. Deterministická událost. Obnoveno od: es. wikipedia.com
7. Wikipedia. Náhodný experiment. Obnoveno z: es.wikipedia.com