HOMOSCEDASTICITA: CO TO JE, VÝZNAM A PŘÍKLADY - DUDAS - 2025

K homoscedasticitě v prediktivním statistickém modelu dochází, pokud všechny datové skupiny jednoho nebo více pozorování, rozptyl (nebo nezávislý) obrazec vzhledem k vysvětlujícím proměnným zůstávají konstantní.

Regresní model může být homoscedastic nebo ne, v takovém případě mluvíme o heteroscedasticitě.

Obrázek 1. Pět sad dat a regresní přizpůsobení sady. Rozptyl vzhledem k předpokládané hodnotě je v každé skupině stejný. (upav-biblioteca.org)

Statistický regresní model několika nezávislých proměnných se nazývá homoscedastický, pouze pokud rozptyl chyby predikované proměnné (nebo standardní odchylky závislé proměnné) zůstává jednotný pro různé skupiny hodnot vysvětlujících nebo nezávislých proměnných.

V pěti skupinách údajů na obrázku 1 byla rozptyl v každé skupině vypočítán s ohledem na hodnotu odhadovanou regresí, což vedlo k tomu, že v každé skupině bylo stejné. Dále se předpokládá, že data sledují normální distribuci.

Na grafické úrovni to znamená, že body jsou rovnoměrně rozptýleny nebo rozptýleny kolem hodnoty předpovídané regresním přizpůsobením a že regresní model má stejnou chybu a platnost pro rozsah vysvětlující proměnné.

Význam homoscedasticity

Pro ilustraci důležitosti homoscedasticity v prediktivních statistikách je nutné kontrastovat s opačným fenoménem, ​​heteroscedasticity.

Homoscedasticita versus heteroscedasticita

V případě obrázku 1, kde je homoscedasticita, je pravda, že:

Var ((y1-Y1); X1) ≈ Var ((y2-Y2); X2) ≈ …… Var ((y4-Y4); X4)

Kde Var ((yi-Yi); Xi) představuje rozptyl, dvojice (xi, yi) představuje data ze skupiny i, zatímco Yi je hodnota predikovaná regresí pro střední hodnotu Xi skupiny. Rozptyl n dat ze skupiny i se vypočítá takto:

Var ((yi-Yi); Xi) = ∑j (yij - Yi) ^ 2 / n

Naopak, když dojde k heteroscedasticitě, nemusí být regresní model platný pro celou oblast, ve které byl vypočítán. Obrázek 2 ukazuje příklad této situace.

Obrázek 2. Skupina dat vykazujících heteroscedasticitu. (Vlastní zpracování)

Obrázek 2 představuje tři skupiny dat a přizpůsobení sady pomocí lineární regrese. Je třeba poznamenat, že údaje ve druhé a třetí skupině jsou více rozptýleny než v první skupině. Graf na obrázku 2 také ukazuje střední hodnotu každé skupiny a její sloupec chyby ± σ, se standardní směrodatnou odchylkou pro každou skupinu dat. Je třeba si uvědomit, že směrodatná odchylka σ je druhou odmocninou rozptylu.

Je zřejmé, že v případě heteroskedasticity se chyba odhadu regrese mění v rozsahu hodnot vysvětlující nebo nezávislé proměnné a v intervalech, kde je tato chyba velmi velká, je regresní predikce nespolehlivá nebo nepoužije se.

V regresním modelu musí být chyby nebo zbytky (a -Y) rozloženy se stejnou odchylkou (σ ^ 2) v intervalu hodnot nezávislé proměnné. Z tohoto důvodu musí dobrý regresní model (lineární nebo nelineární) projít testem homoscedasticity.

Testy homoscedasticity

Body znázorněné na obrázku 3 odpovídají údajům studie, která hledá vztah mezi cenami domů (v dolarech) domů v závislosti na velikosti nebo ploše v metrech čtverečních.

Prvním testovaným modelem je lineární regrese. Nejprve je třeba poznamenat, že koeficient určování R2 ^ přizpůsobení je poměrně vysoký (91%), takže lze předpokládat, že přizpůsobení je uspokojivé.

Od grafu úprav však lze jasně odlišit dvě oblasti. Jeden z nich, ten napravo uzavřený v oválu, splňuje homoscedasticitu, zatímco oblast nalevo nemá homoscedasticitu.

To znamená, že predikce regresního modelu je přiměřená a spolehlivá v rozsahu od 1800 m2 do 4800 m2, ale mimo tuto oblast je velmi nedostatečná. V heteroscedastické zóně je chyba nejen velmi velká, ale také se zdá, že data sledují jiný trend, než jaký navrhuje lineární regresní model.

Obrázek 3. Ceny bydlení vs. oblast a prediktivní model podle lineární regrese, ukazující homoscedasticitu a heteroscedasticitu. (Vlastní zpracování)

Rozptylový graf dat je nejjednodušší a nej vizuální test jejich homoscedasticity, avšak v případech, kdy to není tak zřejmé, jako v příkladu znázorněném na obrázku 3, je nutné uchýlit se k grafům s pomocnými proměnnými.

Standardizované proměnné

Za účelem oddělení oblastí, kde je splněna homoscedasticita a kde tomu tak není, jsou zavedeny standardizované proměnné ZRes a ZPred:

ZRes = Abs (y - Y) / σ

ZPred = Y / σ

Je třeba poznamenat, že tyto proměnné závisí na použitém regresním modelu, protože Y je hodnota predikce regrese. Níže je uveden bodový graf ZRes vs ZPred pro stejný příklad:

Obrázek 4. Je třeba poznamenat, že v zóně homoscedasticity zůstávají ZRes jednotné a malé v predikční oblasti (vlastní zpracování).

V grafu na obrázku 4 se standardizovanými proměnnými je oblast, kde je zbytková chyba malá a jednotná, jasně oddělena od oblasti, kde není. V první zóně je splněna homoscedasticita, zatímco v oblasti, kde je zbytková chyba vysoce variabilní a velká, je splněna heteroscedasticita.

Regresní úprava je aplikována na stejnou skupinu dat na obrázku 3, v tomto případě je úprava nelineární, protože použitý model zahrnuje potenciální funkci. Výsledek je znázorněn na následujícím obrázku:

Obrázek 5. Nové zóny homoscedasticity a heteroscedasticity v datech vybavených nelineárním regresním modelem. (Vlastní zpracování).

V grafu na obrázku 5 by měly být jasně zaznamenány homoscedastické a heteroscedastické oblasti. Je třeba také poznamenat, že tyto zóny byly zaměněny s ohledem na zóny vytvořené v modelu lineárního přizpůsobení.

Z grafu na obr. 5 je zřejmé, že i když existuje poměrně vysoký koeficient určení přizpůsobení (93,5%), model není vhodný pro celý interval vysvětlující proměnné, protože data pro hodnoty větší než 2000 m2 představuje heteroscedasticitu.

Negrafické testy homoscedasticity

Jedním z nejgrafických testů, které se nejčastěji používají k ověření, zda je homoscedasticita splněna či nikoli, je test Breusch-Pagan.

Ne všechny podrobnosti tohoto testu budou uvedeny v tomto článku, ale jeho základní charakteristiky a kroky téhož jsou hrubě nastíněny:

1. Regresní model je aplikován na n data a jejich rozptyl je počítán s ohledem na hodnotu odhadovanou modelem σ ^ 2 = ∑j (yj - Y) ^ 2 / n.
2. Je definována nová proměnná ε = ((yj - Y) ^ 2) / (σ ^ 2)
3. Stejný regresní model se použije na novou proměnnou a vypočítají se její nové regresní parametry.
4. Stanoví se kritická hodnota Chi square (χ ^ 2), což je polovina součtu nových zbytků čtverců v proměnné ε.
5. Rozdělovací tabulka Chi square se používá s ohledem na úroveň významnosti (obvykle 5%) a počet stupňů volnosti (# regresních proměnných mínus jednotka) na ose x tabulky, aby se získala hodnota deska.
6. Kritická hodnota získaná v kroku 3 je porovnána s hodnotou uvedenou v tabulce (x ^ 2).
7. Pokud je kritická hodnota pod hodnotou v tabulce, máme nulovou hypotézu: existuje homoscedasticita
8. Pokud je kritická hodnota nad hodnotou v tabulce, máme alternativní hypotézu: neexistuje homoscedasticita.

Většina statistických softwarových balíčků, jako jsou: SPSS, MiniTab, R, Python Pandas, SAS, StatGraphic a několik dalších, zahrnuje test homoscedasticity Breusch-Pagan. Dalším testem pro ověření rovnoměrnosti rozptylu je Levenův test.

Reference

1. Box, Hunter a Hunter. (1988) Statistika pro vědce. Obrátil jsem se k editorům.
2. Johnston, J. (1989). Ekonometrické metody, Vicens - editory Vives.
3. Murillo a González (2000). Příručka ekonometrie. Univerzita v Las Palmas de Gran Canaria. Obnoveno z: ulpgc.es.
4. Wikipedia. Homoscedasticita. Obnoveno z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Homoscedasticita. Obnoveno z: en.wikipedia.com