Existuje ortogonální matice, když uvedená matice vynásobená její transpozicí vede k matici identity. Pokud je inverzní matice stejná jako transpozice, pak je původní matice ortogonální.
Ortogonální matice mají vlastnost, že počet řádků se rovná počtu sloupců. Kromě toho jsou řadové vektory jednotkové ortogonální vektory a také transponované řadové vektory.
Obrázek 1. Příklad ortogonální matice a způsob, jakým transformuje geometrické objekty. (Připravil Ricardo Pérez)
Když je ortogonální matice násobena vektory vektorového prostoru, vytvoří izometrickou transformaci, tj. Transformaci, která nemění vzdálenosti a zachovává úhly.
Typickým představitelem ortogonálních matric jsou rotační matice. Transformace ortogonálních matic ve vektorovém prostoru se nazývají ortogonální transformace.
Geometrické transformace rotace a reflexe bodů reprezentovaných jejich kartézskými vektory jsou prováděny použitím ortogonálních matic na původní vektory, aby se získaly souřadnice transformovaných vektorů. Z tohoto důvodu jsou ortogonální matice široce používány při zpracování počítačové grafiky.
Vlastnosti
Matice M je kolmá pokud vynásobí jeho přemístit M T poskytuje v důsledku toho je matice identity I. Podobně výsledkem transpozice ortogonální matice původní maticí je matice identity:
MM T = M T M = I
V důsledku předchozího prohlášení máme, že transpozice ortogonální matice je stejná jako její inverzní matice:
M T = M -1 .
Sada ortogonálních matic dimenze nxn tvoří ortogonální skupinu O (n). A podmnožina O (n) ortogonálních matic s determinantem +1 tvoří skupinu Unitary Special Matrices SU (n). Matice skupiny SU (n) jsou matice, které vytvářejí lineární transformace rotace, také známé jako skupina rotací.
Demonstrace
Chceme ukázat, že matice je ortogonální, a pouze tehdy, jsou-li řádkové vektory (nebo sloupcové vektory) vzájemně kolmé a mají normu 1.
Předpokládejme, že řady ortogonální matice nxn jsou n ortonormální vektory dimenze n. Pokud je označeno v 1 , v 2 ,…, V n k n vektorům platí:
Kde je zřejmé, že sada řádkových vektorů je skutečně sada ortogonálních vektorů s normou jedna.
Příklady
Příklad 1
Ukažte, že matice 2 x 2, která ve svém prvním řádku obsahuje vektor v1 = (-1 0), a ve druhém řádku je vektor v2 = (0 1) ortogonální matice.
Řešení: Matice M je konstruována a její transpozice M T je vypočtena:
V tomto příkladu je matice M samo-transponována, to znamená, že matice a její transpozice jsou identické. Vynásobte M transponováním M T:
Je ověřeno, že MM T se rovná matici identity:
Když je matice M vynásobena souřadnicemi vektoru nebo bodu, získají se nové souřadnice, které odpovídají transformaci, kterou matice provádí na vektoru nebo bodě.
Obrázek 1 ukazuje, jak M transformuje vektor u na u ' a také jak M transformuje modrý mnohoúhelník na červený mnohoúhelník. Protože M je ortogonální, jedná se tedy o ortogonální transformaci, která zachovává vzdálenosti a úhly.
Příklad 2
Předpokládejme, že máte matici 2 x 2 definovanou v reálných hodnotách podle následujícího výrazu:
Najděte skutečné hodnoty a, b, cad tak, že matice M je ortogonální matice.
Řešení: Podle definice je matice ortogonální, pokud je vynásobena její transpozicí, získá se matice identity. Při zapamatování, že transponovaná matice je získána z původních, výměnných řádků za sloupce, je získána následující rovnost:
Provádíme násobení matic:
Při porovnání prvků levé matice s prvky matice identity vpravo získáme systém čtyř rovnic se čtyřmi neznámými a, b, cad.
Navrhujeme pro a, b, ca následující výrazy z hlediska trigonometrických poměrů sinus a kosinus:
S tímto návrhem a díky základní trigonometrické identitě jsou první a třetí rovnice automaticky uspokojeny v rovnosti maticových prvků. Třetí a čtvrtá rovnice jsou stejné a v maticové rovnosti po nahrazení navrhovanými hodnotami to vypadá takto:
což vede k následujícímu řešení:
Nakonec jsou získána následující řešení pro ortogonální matici M:
Všimněte si, že první řešení má determinant +1, takže patří do skupiny SU (2), zatímco druhé řešení má determinant -1, a proto nepatří do této skupiny.
Příklad 3
S ohledem na následující matici najděte hodnoty a a b tak, že máme ortogonální matici.
Řešení: Aby byla daná matice ortogonální, musí být produkt s transpozicí maticí identity. Poté je proveden matricový produkt dané matice s transponovanou maticí, který dává následující výsledek:
Dále je výsledek roven matici identity 3 x 3:
Ve druhém řádku má třetí sloupec (ab = 0), ale a nemůže být nula, protože jinak by nebyla splněna rovnost prvků druhého řádku a druhého sloupce. Pak nutně b = 0. Nahrazení b za hodnotu 0 máme:
Pak je rovnice vyřešena: 2a ^ 2 = 1, jejíž řešení jsou: + √√2 a -½√2.
Když vezmeme pozitivní řešení pro a, získá se následující ortogonální matrice:
Čtečka může snadno ověřit, že řádkové vektory (a také sloupcové vektory) jsou ortogonální a jednotné, to znamená ortorormální.
Příklad 4
Ukažte, že matice A, jejíž řádkové vektory jsou v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) a v3 = (0 0 -1), je ortogonální maticí. Dále najdeme vektory, které jsou transformovány z kanonického základu i, j, k na vektory u1, u2 a u3.
Řešení: Je třeba si uvědomit, že prvek (i, j) matice vynásobený její transpozicí je tečkovým součinem vektoru řádku (i) se sloupcem (j) transpozice. Tento produkt se navíc rovná Kroneckerově deltě v případě, že matice je ortogonální:
V našem případě to vypadá takto:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
S ním se ukazuje, že se jedná o ortogonální matici.
Dále u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) a konečně u3 = A k = (0, 0, -1)
Reference
- Anthony Nicolaides (1994) Determinanty a matice. Pass publikace.
- Birkhoff a MacLane. (1980). Modern Algebra, ed. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Úvod do lineární algebry. ESIC Editorial.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Maths: Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) 30sekundové matematiky: 50 nejrozšířenějších teorií rozšiřujících mysl v matematice. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Ortogonální matice. Obnoveno z: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Ortogonální matice. Obnoveno z: en.wikipedia.com