ASOCIATIVNÍ VLASTNOST: SČÍTÁNÍ, MNOŽENÍ, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Asociativní vlastnictví přidání představuje asociativní charakter operace sčítání v různých matematických sadách. V tom jsou tři (nebo více) elementů uvedených množin navzájem příbuzné, nazývané a, b a c, takže to vždy platí:

a + (b + c) = (a + b) + c

Tímto způsobem je zaručeno, že bez ohledu na způsob seskupení pro provedení operace je výsledek stejný.

Obrázek 1. Při provádění aritmetických a algebraických operací používáme asociativní vlastnost sčítání mnohokrát. (Výkres: freepik Složení: F. Zapata)

Je však třeba poznamenat, že asociativní vlastnost není synonymem komutativní vlastnosti. To znamená, že víme, že pořadí doplňků nemění částku nebo že pořadí faktorů nemění produkt. Takže pro částku lze psát takto: a + b = b + a.

V asociativní vlastnosti se však liší, protože pořadí prvků, které mají být přidány, je zachováno a jaké změny je operace, která je provedena jako první. Což znamená, že přidání prvního (b + c) a přidání a do tohoto výsledku nezáleží, než začnete přidávat s do výsledku přidáním c.

Mnoho důležitých operací, jako je sčítání, je asociativní, ale ne všechny. Například při odečtení reálných čísel se stane, že:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Pokud a = 2, b = 3, c = 1, pak:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Asociativní vlastnictví multiplikace

Jak bylo provedeno pro přidání, asociativní vlastnost multiplikace uvádí, že:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

V případě množiny reálných čísel je snadné ověřit, že tomu tak vždy je. Například pomocí hodnot a = 2, b = 3, c = 1 máme:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Reálná čísla splňují asociativní vlastnost sčítání i násobení. Na druhé straně, v jiné sadě, jako je například vektor, je součet asociativní, ale křížový produkt nebo vektorový produkt není.

Aplikace asociativní vlastnosti násobení

Výhodou operací, při nichž je asociativní vlastnost splněna, je možnost seskupovat se nejpohodlnějším způsobem. Díky tomu je rozlišení mnohem snazší.

Předpokládejme například, že v malé knihovně jsou 3 police po 5 policách. V každé polici je 8 knih. Kolik knih je ve všech?

Tuto operaci můžeme provést takto: celkem knihy = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 knih.

Nebo jako toto: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 knih.

Obrázek 2. Jednou aplikací asociativní vlastnosti násobení je výpočet počtu knih na každé polici. Obrázek vytvořil F. Zapata.

Příklady

-V sadách přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních čísel je splněna asociativní vlastnost sčítání a násobení.

Obrázek 3. Pro reálná čísla je asociativní vlastnost sčítání splněna. Zdroj: Wikimedia Commons.

-Pro polynomy také platí v těchto operacích.

- V případě operací odčítání, dělení a exponentace asociativní vlastnost neplatí pro reálná čísla nebo polynomy.

- V případě matic je asociativní vlastnost splněna pro sčítání a násobení, i když v druhém případě není komutativita splněna. To znamená, že vzhledem k maticím A, B a C je pravda, že:

(A x B) x C = A x (B x C)

Ale… A x B ≠ B x A

Asociativní vlastnost ve vektorech

Vektory tvoří jinou sadu než reálná čísla nebo složitá čísla. Operace definované pro sadu vektorů jsou poněkud odlišné: existují sčítání, odčítání a tři typy produktů.

Součet vektorů splňuje asociativní vlastnost, stejně jako čísla, polynomy a matice. Co se týče skalárních produktů, skalárního vektoru a křížení, které jsou vytvářeny mezi vektory, ten jej nesplňuje, ale skalární produkt, který je dalším druhem operace mezi vektory, jej splňuje, přičemž se bere v úvahu následující:

- Výsledkem skaláru a vektoru je vektor.

- Při skalárním násobení dvou vektorů vzniká skalární výsledek.

Proto vzhledem k vektorům v, u a w a navíc ke skaláru λ je možné psát:

- Součet vektorů: v + (u + w) = (v + u) + w

-Skálarní produkt: λ (v • u) = (λ v) • u

To druhé je možné díky skutečnosti, že v • u je skalár a λ v je vektor.

Nicméně:

v × (u × w) ≠ (v × u) × w

Faktorizace polynomů seskupením termínů

Tato aplikace je velmi zajímavá, protože, jak již bylo řečeno, asociativní vlastnost pomáhá řešit určité problémy. Součet monomů je asociativní a lze jej použít pro factoring, když se na první pohled neobjeví zjevný společný faktor.

Předpokládejme například, že jste vyzváni k faktoru: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Tento polynom nemá žádný společný faktor, ale uvidíme, co se stane, pokud bude seskupen takto:

První závorka má společný faktor osy ²:

Ve druhém je společný faktor 3:

Cvičení

- Cvičení 1

Budova školy má 4 podlaží a každá má 12 učeben s 30 stoly uvnitř. Kolik škol má škola celkem?

Řešení

Tento problém je vyřešen použitím asociativní vlastnosti multiplikace, podívejme se:

Celkový počet psacích stolů = 4 patra x 12 učeben / patro x 30 psacích stolů / učebna = (4 x 12) x 30 psacích stolů = 48 x 30 = 1440 psacích stolů.

Nebo pokud dáváte přednost: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 stolů

- Cvičení 2

Vzhledem k polynomům:

A (x) = 5x ³ + 2 ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3 -7

Použijte asociativní vlastnost sčítání k nalezení A (x) + B (x) + C (x).

Řešení

První dvě skupiny můžete seskupit a do výsledku přidat třetí:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Ihned se přidá polynom C (x):

+ = X ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Čtenář může ověřit, že výsledek je identický, pokud je vyřešen možností A (x) +.

Reference

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
2. Matematika je zábava, komutativní, asociativní a distribuční zákony. Obnoveno z: mathisfun.com.
3. Math Warehouse. Definice asociativního vlastnictví. Obnoveno z: mathwarehouse.com.
4. Sciencing. Asociativní a komutativní vlastnost sčítání a násobení (s příklady). Obnoveno z: sciencing.com.
5. Wikipedia. Asociativní vlastnictví. Obnoveno z: en.wikipedia.org.