CO JSOU ŠIKMÉ TROJÚHELNÍKY? (S CVIKY) - MATEMATIKA - 2025

Tyto šikmé trojúhelníky jsou ty trojúhelníky, které nejsou obdélníky. Jinými slovy, trojúhelníky takové, že žádný z jejich úhlů není pravý úhel (jejich míra je 90 °).

Protože nemají žádné pravoúhlé úhly, nelze na tyto trojúhelníky použít pythagorovský věta.

Proto, abychom znali data v šikmém trojúhelníku, je nutné použít jiné vzorce.

Vzorce potřebné k vyřešení šikmého trojúhelníku jsou tzv. Zákony sinusů a kosinů, které budou popsány později.

Kromě těchto zákonů lze vždy použít skutečnost, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku se rovná 180 °.

Šikmé trojúhelníky

Jak bylo uvedeno na začátku, šikmý trojúhelník je trojúhelník takový, že žádný z jeho úhlů měří 90 °.

Problém nalezení délek stran šikmého trojúhelníku, stejně jako nalezení míry jeho úhlů, se nazývá „vyřešení šikmých trojúhelníků“.

Při práci s trojúhelníky je důležitý fakt, že součet tří vnitřních úhlů trojúhelníku se rovná 180 °. Toto je obecný výsledek, a proto lze pro šikmé trojúhelníky použít také.

Zákony sine a cosines

Vzhledem k trojúhelníku ABC se stranami délky „a“, „b“ a „c“:

- Zákon sine říká, že a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), kde A, B a C jsou opačné úhly k «a», «b» a «c »Respektive.

- Zákon kosinů uvádí, že: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Rovněž lze použít následující vzorce:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) nebo a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

Pomocí těchto vzorců lze vypočítat data pro šikmý trojúhelník.

Cvičení

Níže jsou uvedena některá cvičení, kde musí být na základě určitých dodaných údajů nalezena chybějící data daných trojúhelníků.

První cvičení

Při použití trojúhelníku ABC tak, že A = 45 °, B = 60 ° a a = 12 cm, vypočítejte ostatní data trojúhelníku.

Řešení

S použitím toho je součet vnitřních úhlů trojúhelníku roven 180 °, což máme

C = 180 ° - 45 ° - 60 ° = 75 °.

Tři úhly jsou již známy. Zákon sine se pak používá k výpočtu dvou chybějících stran.

Rovnice, které vzniknou, jsou 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

Od první rovnosti můžeme vyřešit «b» a získat to

b = 12 * sin (60 °) / sin (45 °) = 6,66 × 14,696 cm.

Můžeme také vyřešit pro «c» a získat to

c = 12 * sin (75 °) / sin (45 °) = 6 (1 + -3) ≈ 16,392 cm.

Druhé cvičení

Při daném trojúhelníku ABC tak, že A = 60 °, C = 75 ° a b = 10 cm, se vypočítají ostatní údaje trojúhelníku.

Řešení

Stejně jako v předchozím cvičení, B = 180 ° - 60 ° - 75 ° = 45 °. Dále, s použitím zákona sine, máme, že a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), z čehož se získá, že a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5,66 × 12,247 cm a c = 10 * sin (75 °) / sin (45 °) = 5 (1 + 3) ~ 13,660 cm.

Třetí cvičení

Při daném trojúhelníku ABC tak, že a = 10 cm, b = 15 cm a C = 80 °, vypočítejte ostatní data trojúhelníku.

Řešení

V tomto cvičení je znám pouze jeden úhel, proto jej nelze spustit jako v předchozích dvou cvičeních. Nelze také použít zákon sine, protože žádná rovnice nemohla být vyřešena.

Proto přistupujeme k uplatňování zákona kosinů. To je pak to

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 × 272,905 cm, takže c ≈ 16,51 cm. Nyní, když známe 3 strany, je používán zákon sine a je to získáno

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / sin (80 °).

Výsledkem řešení pro B je tedy sin (B) = 15 * sin (80 °) / 16,51 ≈ 0,894, což znamená, že B ≈ 63,38 °.

Nyní můžeme získat, že A = 180 ° - 80 ° - 63,38 ° ≈ 36,62 °.

Čtvrté cvičení

Strany šikmého trojúhelníku jsou a = 5 cm, b = 3 cm a c = 7 cm. Najděte úhly trojúhelníku.

Řešení

Zákon sine nelze znovu použít přímo, protože žádná rovnice by nesloužila k získání hodnoty úhlů.

Podle kosinovského zákona máme, že c² = a² + b² - 2ab cos (C), od kterého při řešení máme ten cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2, a proto C = 120 °.

Nyní, pokud lze použít zákon sine, a získat tak 5 / hřích (A) = 3 / hřích (B) = 7 / hřích (120 °), od kterého můžeme vyřešit B a získat ten hřích (B) = 3 * sin (120 °) / 7 = 0,371, takže B = 21,79 °.

Nakonec se vypočítá poslední úhel s použitím A = 180 ° - 120 ° - 21,79 ° = 38,21 °.

Reference

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometry (Reprint ed.). Pokrok.
2. Leake, D. (2006). Trojúhelníky (ilustrované vydání). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, CD (2006). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. CR technologie.
5. Sullivan, M. (1997). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie a analytická geometrie. Pearsonovo vzdělávání.