Tyto typy integrálů, které najdeme v počtu jsou neurčité integrály a určité integrály. Přestože určité integrály mají mnohem více aplikací než neurčité integrály, je třeba se nejprve naučit řešit neurčité integrály.
Jednou z nejatraktivnějších aplikací určitých integrálů je výpočet objemu rotační pevné látky. Oba typy integrálů mají stejné vlastnosti linearity a také integrační techniky nezávisí na typu integrálu.
Solid of Revolution
Ale přestože jsou velmi podobné, existuje jeden hlavní rozdíl; v prvním typu integrálu je výsledkem funkce (která není specifická), zatímco ve druhém typu je výsledkem číslo.
Základní typy integrálů
Svět integrálů je velmi široký, ale v něm můžeme rozlišit dva základní typy integrálů, které mají velkou použitelnost v každodenním životě.
1- Neurčité integrály
Pokud F '(x) = f (x) pro všechny x v doméně f, říkáme, že F (x) je antiderivativní, primitivní nebo integrál f (x).
Na druhou stranu, pozorujme, že (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), což znamená, že integrál funkce není jedinečný, protože dáním různých hodnot konstantě C získáme různé antideriváty.
Z tohoto důvodu se F (x) + C nazývá neurčitý integrál f (x) a C se nazývá konstanta integrace a píšeme ji následujícím způsobem
Neurčitý integrál
Jak vidíme, neurčitý integrál funkce f (x) je rodina funkcí.
Například, pokud chcete najít neurčitý integrál funkce f (x) = 3x², musíte nejprve najít antiderivativum f (x).
Je snadné vidět, že F (x) = x³ je antiderivativní, protože F '(x) = 3x². Lze proto dojít k závěru, že
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2 - Jednoznačné integrály
Nechť y = f (x) je skutečná, spojitá funkce v uzavřeném intervalu a nechť F (x) je antiderivátem f (x). Definitivní integrál f (x) mezi limity aab je nazýván číslem F (b) -F (a) a je označen následovně
Základní věta o počtu
Výše uvedený vzorec je lépe známý jako „Základní věta o počtu“. Zde se „a“ nazývá spodní limit a „b“ se nazývá horní limit. Jak vidíte, určitým integrálem funkce je číslo.
V tomto případě, pokud je určitý integrál f (x) = 3x² vypočítán v intervalu, bude získáno číslo.
Pro stanovení tohoto čísla zvolíme F (x) = x³ jako protivník f (x) = 3x². Potom vypočítáme F (3) -F (0), což nám dává výsledek 27-0 = 27. Závěrem, konečný integrál f (x) v intervalu je 27.
Je třeba poznamenat, že pokud je zvoleno G (x) = x³ + 3, pak G (x) je antiderivátem f (x) odlišným od F (x), ale to nemá vliv na výsledek, protože G (3) -G (0) = (27 + 3) - (3) = 27. Z tohoto důvodu se konstantní integrace neobjevuje v konečných integrálech.
Jednou z nejužitečnějších aplikací tohoto typu integrálu je to, že nám umožňuje vypočítat plochu (objem) rovinné postavy (rotační tělesa), stanovit vhodné funkce a limity integrace (a osu rotace).
V určitých integrálech najdeme jeho různá rozšíření, jako jsou liniové integrály, povrchové integrály, nesprávné integrály, vícenásobné integrály, všechny s velmi užitečnými aplikacemi ve vědě a inženýrství.
Reference
- Casteleiro, JM (2012). Je snadná integrace? Samostudium manuál. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, a Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrální počet (ilustrovaná ed.). Madrid: ESIC Editorial.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematika: přístup k řešení problémů (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Integrální počet. Vydavatelé a distributéři v Atlantiku.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Počet (deváté vydání). Prentice Hall.