AXIÁLNÍ SYMETRIE: VLASTNOSTI, PŘÍKLADY A CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Axiální symetrie je, když body v obr shodují s místě dalšího čísla od přímé půlící názvem osu souměrnosti. Nazývá se také radiální, rotační nebo válcová symetrie.

To je obvykle aplikováno v geometrických obrazcích, ale to je snadno pozorovatelné v přírodě, protože tam jsou zvířata takový jako motýli, škorpióny, berušky nebo lidé, kteří představují axiální symetrii.

Na této fotografii panoramatu města Toronto a jeho odrazu ve vodě je zobrazena axiální symetrie. (Zdroj: pixabay)

Jak najít axiální symetrickou

K nalezení axiální symetrie P 'bodu P vzhledem k přímce (L) se provedou následující geometrické operace:

1.- Kolmá k přímce (L), která prochází bodem P.

2. - Zachycení dvou čar určuje bod O.

3.- Změří se délka segmentu PO, pak se tato délka zkopíruje na přímku (PO) začínající od O ve směru z P na O, určující bod P '.

4. - Bod P 'je axiální symetrie bodu P vzhledem k ose (L), protože čára (L) je přímka segmentu PP', což je O ve středu uvedeného segmentu.

Obrázek 1. Dva body P a P 'jsou axiálně symetrické k ose (L), jestliže uvedená osa je průnikem segmentu PP'

Vlastnosti axiální symetrie

- Axiální symetrie je izometrická, tj. Vzdálenosti geometrického útvaru a jeho odpovídající symetrie jsou zachovány.

- Míra úhlu a jeho symetrie jsou stejné.

- Axiální symetrie bodu na ose symetrie je samotný bod.

- Symetrická čára čáry rovnoběžné s osou symetrie je také čára rovnoběžná s uvedenou osou.

- Sečitá čára k ose symetrie má jako symetrickou čáru další sečitou čáru, která zase protíná osu symetrie ve stejném bodě na původní linii.

- Symetrický obraz čáry je další čarou, která vytváří úhel s osou symetrie stejné míry jako původní čára.

- Symetrický obraz čáry kolmé k ose symetrie je další čarou, která se překrývá s první.

- Čára a její osová symetrická linie tvoří úhel, jehož úsečka je osou symetrie.

Obrázek 2. Axiální symetrie zachovává vzdálenosti a úhly.

Příklady axiální symetrie

Příroda vykazuje bohaté příklady axiální symetrie. Například můžete vidět symetrii tváří, hmyzu, jako jsou motýli, odraz na klidných vodních plochách a zrcadlech nebo listech rostlin.

Obrázek 3. Tento motýl vykazuje téměř dokonalou axiální symetrii. (Zdroj: pixabay)

Obrázek 4. Tvář této dívky má axiální symetrii. (Zdroj: pixabay)

Osová symetrická cvičení

Cvičení 1

Máme trojúhelník vrcholů A, B a C, jejichž kartézské souřadnice jsou příslušně A = (2, 5), B = (1, 1) a C = (3,3). Najděte karteziánské souřadnice symetrického trojúhelníku kolem osy Y (osa y).

Řešení: Pokud má bod P souřadnice (x, y), pak jeho symetrie kolem osy y (osa Y) je P '= (- x, y). Jinými slovy, hodnota jeho úsečky mění znaménko, zatímco hodnota ordinátu zůstává stejná.

V takovém případě bude mít symetrický trojúhelník vrcholy A ', B' a C 'souřadnice:

A '= (-2,5); B '= (-1,1) a C' = (-3,3), jak je vidět na obrázku 6.

Obrázek 6. Pokud má bod souřadnice (x, y), bude jeho souměrnost vzhledem k ose Y (osa y) obsahovat souřadnice (-x, y).

Cvičení 2

S odkazem na trojúhelník ABC a jeho symetrický A'B'C 'z cvičení 1 zkontrolujte, zda odpovídající strany původního trojúhelníku a jeho symetrie mají stejnou délku.

Řešení: K nalezení vzdálenosti nebo délky stran použijeme euklidovský vzorec vzdálenosti:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1)) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Délka odpovídající symetrické strany A'B 'se vypočítá níže:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Tímto způsobem je ověřeno, že axiální symetrie zachovává vzdálenost mezi dvěma body. Tento postup lze opakovat pro další dvě strany trojúhelníku a jeho symetrický pro kontrolu invariance na délku. Například -AC- = -A'C'- = -5 = 2,236.

Cvičení 3

Ve vztahu k trojúhelníku ABC a jeho symetrickému A'B'C 'z Cvičení 1 zkontrolujte, zda odpovídající úhly původního trojúhelníku a jeho symetrie mají stejné úhlové měřítko.

Řešení: K určení míry úhlů BAC a B'A'C 'nejprve vypočítáme skalární součin vektorů AB s AC a potom skalární součin A'B' s A'C '.

Vzpomínáme na to:

A = (2, 5), B = (1, 1) a C = (3,3)

A '= (-2,5); B '= (-1,1) a C' = (-3,3).

Má to:

AB = <1-2, 1-5> a AC = <3-2, 3-5>

podobně

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> a AC = <-3 + 2, 3-5>

Pak jsou nalezeny následující skalární produkty:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Podobně

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Míra úhlu BAC je:

∡BAC = ArcCos (AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC-)) =

ArcCos (7 / (4 123 232)) = 40,6 °

Podobně míra úhlu B'A'C 'je:

∡B'A'C '= ArcCos (A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'-)) =

ArcCos (7 / (4 123 232)) = 40,6 °

Závěr, že axiální symetrie zachovává míru úhlů.

Cvičení 4

Nechť bod P je souřadnic (a, b). Najděte souřadnice své axiální symetrie P 'vzhledem k přímce y = x.

Řešení: Zavoláme (a ', b') souřadnice symetrického bodu P 'vzhledem k přímce y = x. Střed M segmentu PP 'má souřadnice ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) a je také na přímce y = x, takže platí následující rovnost:

a + a '= b + b'

Na druhé straně má segment PP 'sklon -1, protože je kolmý na přímku y = x se sklonem 1, takže platí následující rovnost:

b - b '= a' -a

Řešením dvou předchozích rovností a 'a b' se vyvozuje, že:

a '= tím b' = a.

To znamená, že vzhledem k bodu P (a, b) je jeho axiální symetrie vzhledem k přímce y = x P '(b, a).

Reference

1. Arce M., Blázquez S a další. Transformace roviny. Obnoveno z: educutmxli.files.wordpress.com
2. Výpočet cc. Axiální symetrie. Obnoveno z: calclo.cc
3. Superprof. Axiální symetrie. Obnoveno z: superprof.es
4. wikipedia. Axiální symetrie. Obnoveno z: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Kruhová symetrie. Obnoveno z: en.wikipedia.com