CENTRÁLNÍ SYMETRIE: VLASTNOSTI, PŘÍKLADY A CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Dva body A a A 'mají centrální symetrii vzhledem k bodu O, když prochází segment AA' a je také středem AA '. Bod O se nazývá střed symetrie.

Centrální symetrie trojúhelníku ABC vzhledem k bodu O je dalším trojúhelníkem A'B'C ', který má následující charakteristiky:

-Homologické segmenty mají stejnou délku

- Jejich odpovídající úhly mají stejnou míru.

Obrázek 1. Trojúhelník ABC a jeho symetrický A'B'C '. Zdroj: F. Zapata.

Obrázek 1 ukazuje trojúhelník ABC (červený) a jeho centrální symetrii A'B'C '(zelený), s ohledem na střed symetrie O.

Na tomto stejném obrázku by pozorný pozorovatel uvědomil, že stejný výsledek je dosažen použitím rotace původního trojúhelníku, pokud je 180 ° a je vystředěn na O.

Centrální symetrie je proto ekvivalentní otočení o 180 ° vzhledem ke středu symetrie.

Vlastnosti centrální symetrie

Centrální symetrie má následující vlastnosti:

- Střed symetrie je středem segmentu, který spojuje bod se symetrií.

- Symetrický bod druhého, který se nachází ve středu symetrie, se shoduje se středem symetrie.

- Centrální symetrie trojúhelníku je shodný trojúhelník (stejný) jako originál.

- Obraz středovou symetrií kruhu je další kružnicí se stejným poloměrem.

- Obvod má centrální symetrii s ohledem na své vlastní centrum.

Obrázek 2. Návrh s centrální symetrií. Zdroj: Pixabay.

- elipsa má centrální symetrii vzhledem k jejímu středu.

- Segment má centrální symetrii vzhledem k jeho středu.

- Rovnostranný trojúhelník nemá centrální symetrii vzhledem k jeho středu, protože jeho symetrie, i když shodná s prvním, dává rotovaný rovnostranný trojúhelník.

- Čtverce mají centrální symetrii vzhledem k jejich středu.

- Pentagon postrádá centrální symetrii vzhledem k jeho středu.

- Pravidelné polygony mají centrální symetrii, když mají sudý počet stran.

Příklady

Kritéria symetrie mají mnoho aplikací ve vědě a inženýrství. V přírodě je přítomna centrální symetrie, například krystaly ledu a pavučiny mají tento druh symetrie.

Kromě toho lze mnoho problémů snadno vyřešit, když se využívá existence centrální symetrie a jiných druhů symetrie. Proto je vhodné rychle zjistit, kdy k tomu dojde.

Obrázek 3. Ledové krystaly mají centrální symetrii. Zdroj: Pixabay.

Příklad 1

Vzhledem k bodu P souřadnic (a, b) musíme najít souřadnice jeho symetrické P 'vzhledem k počátku O souřadnic (0, 0).

První věcí je vytvořit bod P ', pro který je nakreslena čára, která prochází počátkem O a bodem P. Rovnice této linie je y = (b / a) x.

Nyní zavoláme (a ', b') souřadnice symetrického bodu P '. Bod P 'musí ležet na přímce, která prochází O, a proto platí: b' = (b / a) a '. Dále musí být vzdálenost OP rovna OP ', která je v analytické podobě psána takto:

√ (a ² + b ²) = √ (a ' ² + b' ²)

Následuje nahrazení b '= v předchozím výrazu a druhou mocninu na obou stranách rovnosti, aby se eliminovala druhá odmocnina: (a ² + b ²) =

Extrakcí společného faktoru a zjednodušením dostaneme, že ' ² = a ². Tato rovnice má dvě skutečná řešení: a '= + a nebo' = -a.

Pro získání b 'znovu použijeme b' = (b / a) a '. Pokud je nahrazeno kladné řešení a ', dostaneme se k b' = b. A když je negativní řešení nahrazeno, pak b '= -b.

Pozitivní řešení dává P 'stejný bod P, takže je vyřazeno. Negativní řešení rozhodně udává souřadnice symetrického bodu:

P ': (-a, -b)

Příklad 2

Je třeba prokázat, že segment AB a jeho centrální symetrický A'B 'mají stejnou délku.

Počínaje souřadnicemi bodu A, které jsou (Ax, Ay) a souřadnicemi bodu B: (Bx, By), je délka segmentu AB dána:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ²)

Analogicky bude mít symetrický segment A'B 'délku danou:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (By' - Ay ') ²)

Souřadnice symetrického bodu A 'jsou Ax' = -Ax a Ay '= -Ay. Podobně jako B 'jsou Bx' = -Bx a By '= -By. Pokud jsou tyto souřadnice nahrazeny v rovnici vzdálenosti d (A'B '), máme:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ²), což odpovídá:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ²) = d (AB)

Je tedy ukázáno, že oba segmenty mají stejnou délku.

Řešená cvičení

- Cvičení 1

Analyticky ukážte, že centrální symetrický O kružnice o poloměru R a střed O je stejný původní kruh.

Řešení

Rovnice kružnice s poloměrem R a středem O (0,0) je:

x ² + y ² = R ² (rovnice obvodu C)

Pokud je v každém bodě P obvodu y souřadnic (x, y) nalezen jeho symetrický P 'souřadnic (x', y '), je rovnice symetrického obvodu:

x ' ² + y' ² = R ² (rovnice symetrického kruhu C ‚)

Nyní se odvoláváme na výsledek příkladu 1, ve kterém se dospělo k závěru, že souřadnice bodu P ', symetrické k P a se souřadnicemi (a, b), jsou (-a, -b).

Ale v tomto cvičení má bod P souřadnice (x, y), takže jeho symetrický P 'bude mít souřadnice x' = -xe y '= -y. Nahrazující to v rovnici symetrické kružnice máme:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

Což je ekvivalentní: x ² + y ² = R ², k závěru, že centrální symetrické kruhu vzhledem k jeho středu je samotný kruh.

- Cvičení 2

V geometrické podobě ukážte, že centrální symetrie zachovává úhly.

Řešení

Obrázek 4. Konstrukce symetrických bodů pro cvičení 2. Zdroj: F. Zapata.

V rovině jsou tři body A, B a C. Jeho symetrie A ', B' a C 'jsou konstruovány s ohledem na střed symetrie O, jak je znázorněno na obrázku 4.

Nyní musíme ukázat, že úhel ∡ABC = β má stejnou míru jako úhel ∡A'B'C '= β'.

Protože C a C 'jsou symetrické, pak OC = OC'. Podobně OB = OB 'a OA = OA'. Na druhé straně, úhel ∡BOC = ∡B'OC ', protože jsou protilehlé vrcholem.

Proto jsou trojúhelníky BOC a B'OC 'shodné, protože mají stejný úhel mezi dvěma stejnými stranami.

Protože BOC je shodný s B'OC ', úhly γ a γ' jsou stejné. Ale tyto úhly, kromě splnění γ = γ ', jsou vnitřními náhradníky mezi čarami BC a B'C', což znamená, že čára BC je rovnoběžná s B'C '.

Podobně BOA je shodná s B'OA ', ze které vyplývá, že a = α'. Ale a a 'jsou alternativní vnitřní úhly mezi čarami BA a B'A', z čehož se vyvozuje, že linie BA je rovnoběžná s B'A '.

Protože úhel ∡ABC = β má své strany rovnoběžné s úhlem ∡A'B'C '= β' a oba jsou ostré, dochází k závěru, že:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Tímto způsobem je zajištěno, že centrální symetrie zachovává míru úhlů.

Reference

1. Baldor, JA 1973. Rovinná a kosmická geometrie. Středoamerický kulturní.
2. Matematické zákony a vzorce. Systémy pro měření úhlu. Obnoveno z: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Obnoveno z: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Centrální symetrie. Obnoveno z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Dopravník. Obnoveno z: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Spojte vnitřní a vnější úhly. Obnoveno z: lifeder.com