OSMIČKOVÝ SYSTÉM: HISTORIE, ČÍSLOVACÍ SYSTÉM, PŘEVODY - MATEMATIKA - 2025

Osmičková systém je základní osm (8) poziční systém číslování; to znamená, že se skládá z osmi číslic, které jsou: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 a 7. Proto každá číslice osmičkového čísla může mít jakoukoli hodnotu od 0 do 7. Osmičková čísla jsou tvořeny z binárních čísel.

Je tomu tak proto, že její základna je přesná síla dvou (2). To znamená, že čísla, která patří do osmičkového systému, se vytvářejí, když jsou seskupena do tří po sobě jdoucích číslic, uspořádaných zprava doleva, čímž se získá jejich desetinná hodnota.

Dějiny

Oktální systém má svůj původ ve starověku, kdy lidé používali ruce k počítání zvířat od osmi do osmi.

Například, pro počítání počtu krav ve stáji, jeden začal počítat s pravou rukou, spojovat palec s malým prstem; Poté, pro počítání druhého zvířete, byl palec spojen ukazováčkem a tak dále se zbývajícími prsty každé ruky, dokud nebylo dokončeno 8.

Existuje možnost, že ve starověku byl osmičkový číslovací systém používán před desetinnou čárkou, aby bylo možné počítat interdigitální mezery; to znamená, spočítat všechny prsty kromě palců.

Později byl vytvořen osmičkový číslovací systém, který pocházel z binárního systému, protože k tomu, aby reprezentoval pouze jedno číslo, potřebuje mnoho číslic; od té doby byly vytvořeny osmičkové a hexagonální systémy, které nevyžadují tolik číslic a lze je snadno převést na binární systém.

Systém osmičkového číslování

Osmičkový systém se skládá z osmi číslic od 0 do 7. Ty mají stejnou hodnotu jako v případě desetinné soustavy, ale jejich relativní hodnota se mění v závislosti na poloze, kterou zaujímají. Hodnota každé pozice je dána silami základny 8.

Pozice číslic v osmičkovém čísle mají následující hmotnosti:

8 ⁴, 8 ³, 8 ², 8 ¹, 8 ⁰, osmičkový bod, 8 ^-1, 8 ^-2, 8 ^-3, 8 ^-4, 8 ^-5.

Největší osmičková číslice je 7; při počítání v tomto systému se tedy pozice číslice zvýší z 0 na 7. Když je dosaženo 7, je pro další počet recyklována na 0; tímto způsobem se zvýší pozice další číslice. Například pro počítání sekvencí bude v osmičkovém systému:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Existuje základní věta, která je aplikována na osmičkový systém, a je vyjádřena následujícím způsobem:

V tomto výrazu di představuje číslici vynásobenou výkonem základny 8, která udává hodnotu místa každé číslice, stejným způsobem, jako je uspořádána v desetinné soustavě.

Například máte číslo 543.2. Chcete-li ji přenést do osmičního systému, rozděluje se takto:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Máme tedy 543,2 _q = 354,25 _d. Dolní index q označuje, že se jedná o osmičkové číslo, které lze také reprezentovat číslem 8; a index d označuje desetinné číslo, které může být také reprezentováno číslem 10.

Převod z osmičkového na desítkový systém

Chcete-li převést číslo z osmičkového systému na jeho ekvivalent v desetinném systému, jednoduše vynásobte každou osmičkovou číslici svou hodnotou místa počínaje zprava.

Příklad 1

732 ₈ = (7 _* 8 ²) + (3 _* 8 ¹) + (2 _* 8 ⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Příklad 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹) + (6 _* 8 ⁰) + (9 _* 8 ^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Převod z desetinného na osmičkový systém

Desítkové celé číslo může být převedeno na osmičkové číslo pomocí metody opakovaného dělení, kde je desetinné číslo děleno 8, dokud není podíl roven 0, a zbytek každé divize bude představovat osmičkové číslo.

Zbytky jsou seřazeny od poslední k první; to znamená, že první zbytek bude nejméně významná číslice osmičkového čísla. Tímto způsobem bude nejvýznamnější číslice poslední zbytek.

Příklad

Desítkové číslo osmičkové 266 ₁₀

- Vydělte desetinné číslo 266 8 = 266/8 = 33 + zbytek 2.

- Potom vydělte 33 8 = 33/8 = 4 + zbytek 1.

- Vydělte 4 8 = 4/8 = 0 + zbytek 4.

Stejně jako u posledního dělení se získá podíl menší než 1, znamená to, že výsledek byl nalezen; Zbytek si musíte objednat pouze obráceně tak, aby osmičkové číslo desetinné tečky 266 bylo 412, jak je vidět na následujícím obrázku:

Převod z osmičkového na binární

Převod z osmičkové na binární se provádí převodem osmičkové číslice na její ekvivalent binární číslice sestávající ze tří číslic. Existuje tabulka, která ukazuje, jak se převede osm možných číslic:

Z těchto převodů lze libovolné číslo z osmičkového systému na binární změnit, například pro převod čísla 572 ₈ hledáme jeho ekvivalenty v tabulce. Musíte tedy:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Proto je 572 ₈ v binárním systému ekvivalentní 10111110.

Převod z binárního na osmičkový

Proces převodu binárních celých čísel na osmičková celá čísla je obrácením předchozího procesu.

To znamená, že bity binárního čísla jsou seskupeny do dvou skupin po třech bitech, počínaje zprava doleva. Poté je převod z binární na osmičkový proveden pomocí výše uvedené tabulky.

V některých případech nebude binární číslo obsahovat skupiny 3 bitů; pro dokončení se přidá jedna nebo dvě nuly nalevo od první skupiny.

Chcete-li například změnit binární číslo 11010110 na osmičkové, proveďte následující:

- Skupiny 3 bitů jsou tvořeny počínaje zprava (poslední bit):

11010110

- Protože první skupina je neúplná, přidává se úvodní nula:

011010110

- Převod se provádí z tabulky:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Binární číslo 011010110 se tedy rovná 326 ₈.

Převod z osmičkové na hexadecimální a naopak

Chcete-li změnit z osmičkového čísla na hexadecimální systém nebo z hexadecimálního na osmičkové, je třeba nejprve převést číslo na binární a poté na požadovaný systém.

K tomu existuje tabulka, kde je každá hexadecimální číslice reprezentována svým ekvivalentem v binárním systému, skládající se ze čtyř číslic.

V některých případech nebude binární číslo obsahovat skupiny 4 bitů; pro dokončení se přidá jedna nebo dvě nuly nalevo od první skupiny

Příklad

Převést osmičkové číslo 1646 na šestnáctkové číslo:

- Převést číslo z osmičkové na binární

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Takže, 1646 ₈ = 1110100110.

- Chcete-li převést z binární na hexadecimální, jsou nejprve uspořádány ve skupině 4 bitů, počínaje zprava doleva:

11 1010 0110

- První skupina je doplněna nulami, takže může mít 4 bity:

0011 1010 0110

- Je proveden převod z binární na hexadecimální. Ekvivalence jsou nahrazeny tabulkou:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Osmičkové číslo 1646 se tedy v hexadecimálním systému rovná 3A6.

Reference

1. Bressan, AE (1995). Úvod do číslovacích systémů. Argentinská univerzita společnosti.
2. Harris, JN (1957). Úvod do binárních a osmičkových číslovacích systémů: Lexington, Mass and Armed Services Technical Information Agency.
3. Kumar, AA (2016). Základy digitálních obvodů. Učení Pvt.
4. Peris, XC (2009). Jednotlivé operační systémy.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Digitální systémy: principy a aplikace. Pearsonovo vzdělávání.