KVADRATICKÉ POSLOUPNOSTI: PŘÍKLADY, PRAVIDLA A ŘEŠENÁ CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Tyto Kvadratické sledy, v matematickém smyslu, se skládají ze sekvence čísel, které následují určité pravidlo aritmetiky. Je zajímavé znát toto pravidlo pro určení kterékoli z podmínek sekvence.

Jedním způsobem, jak toho dosáhnout, je určit rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími termíny a zjistit, zda je získaná hodnota vždy opakována. Když je tomu tak, říká se, že jde o pravidelný sled.

Číselné sekvence jsou způsob, jak organizovat sekvence čísel. Zdroj: pixabay.com

Pokud se však neopakuje, můžete zkusit prozkoumat rozdíl mezi rozdíly a zjistit, zda je tato hodnota konstantní. Pokud ano, jedná se o kvadratickou sekvenci.

Příklady pravidelných a kvadratických sekvencí

Následující příklady pomáhají objasnit to, co bylo dosud vysvětleno:

Příklad pravidelné posloupnosti

Nechť posloupnost S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Tato posloupnost označená S je nekonečná množina čísel, v tomto případě celá čísla.

Je vidět, že se jedná o pravidelnou sekvenci, protože každý člen je získán přidáním 3 k předchozímu členu nebo prvku:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Jinými slovy: tato posloupnost je pravidelná, protože rozdíl mezi dalším a předchozím termínem dává pevnou hodnotu. V uvedeném příkladu je tato hodnota 3.

Pravidelné sekvence, které jsou získány přidáním fixního množství k předchozímu termínu, se také nazývají aritmetické progrese. A rozdíl - shodný - mezi po sobě jdoucími termíny se nazývá poměr a označuje se jako R.

Příklad nepravidelné a kvadratické posloupnosti

Podívejte se nyní na následující posloupnost:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Při výpočtu následných rozdílů se získají následující hodnoty:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Jejich rozdíly nejsou konstantní, takže lze říci, že se nejedná o pravidelnou sekvenci.

Pokud však vezmeme v úvahu množinu rozdílů, máme další posloupnost, která bude označena jako S _diff:

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Tato nová posloupnost je skutečně pravidelná posloupnost, protože každý člen je získán přidáním pevné hodnoty R = 2 k předcházejícímu. Proto můžeme potvrdit, že S je kvadratická posloupnost.

Obecné pravidlo pro konstrukci kvadratické sekvence

Existuje obecný vzorec pro sestavení kvadratické sekvence:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

V tomto vzorci _Tn je termín v poloze n sekvence. A, B a C jsou pevné hodnoty, zatímco n se mění jedna po druhé, tj. 1, 2, 3, 4,…

V posloupnosti S předchozího příkladu A = 1, B = 1 a C = 0. Odtud vyplývá, že vzorec, který generuje všechny termíny, je: T _n = n ² + n

To znamená:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Rozdíl mezi dvěma po sobě jdoucími termíny kvadratické sekvence

T _{n + 1} - T _n = -

Vývoj výrazu prostřednictvím pozoruhodného produktu zůstává:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Zjednodušením získáte:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Toto je vzorec, který dává posloupnost rozdílů S _Dif, které lze napsat takto:

Rozdíl _n = A ∙ (2n + 1) + B

Kde je jasný další termín 2 ∙ Někdy ten předchozí. To znamená, že poměr posloupnosti rozdílů S _diff je: R = 2 ∙ A.

Řešené problémy kvadratických sekvencí

Cvičení 1

Nechť posloupnost S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Zjistěte, zda:

i) Je to pravidelné nebo ne

ii) Je kvadratická nebo ne

iii) Bylo to kvadratické, sled rozdílů a jejich poměr

Odpovědi

i) Vypočtěte rozdíl mezi následujícími a předchozími podmínkami:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Můžeme potvrdit, že sekvence S není pravidelná, protože rozdíl mezi po sobě jdoucími termíny není konstantní.

ii) Posloupnost rozdílů je pravidelná, protože rozdíl mezi jejími podmínkami je konstantní hodnotou 2. Proto je původní posloupnost S kvadratická.

iii) Již jsme zjistili, že S je kvadratická, posloupnost rozdílů je:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} a jeho poměr je R = 2.

Cvičení 2

Nechte posloupnost S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} z předchozího příkladu, kde bylo ověřeno, že je kvadratická. Určit:

i) Vzorec, který určuje obecný pojem T _n.

ii) Zkontrolujte třetí a pátý termín.

iii) Hodnota desátého funkčního období.

Odpovědi

i) Obecný vzorec _Tn je A ∙ n ² + B ∙ n + C. Potom zbývá znát hodnoty A, B a C.

Posloupnost rozdílů má poměr 2. Kromě toho pro každou kvadratickou sekvenci je poměr R 2 ∙ A, jak je ukázáno v předchozích oddílech.

R = 2 ∙ A = 2, což nás vede k závěru, že A = 1.

První člen posloupnosti rozdílů S _Dif je 2 a musí splňovat A ∙ (2n + 1) + B, kde n = 1 a A = 1, to je:

2 = 1 (2 + 1 + 1) + B

řešení pro B dostaneme: B = -1

Pak první člen S (n = 1) má hodnotu 1, tj. 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Jak již víme, že A = 1 a B = -1, nahrazujeme:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Při řešení pro C získáme jeho hodnotu: C = 1.

Celkem:

A = 1, B = -1 a C = 1

Potom bude n-tým členem T _n = n ² - n + 1

ii) Třetí termín T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 a je ověřena. Pátý T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, který je rovněž ověřena.

iii) Desátý termín bude T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Cvičení 3

Posloupnost oblastí pro cvičení 3. Zdroj: vlastní zpracování.

Obrázek ukazuje posloupnost pěti čísel. Mříž představuje jednotku délky.

i) Určete pořadí pro oblast obrázků.

ii) Ukažte, že se jedná o kvadratickou sekvenci.

iii) Najděte oblast obrázku č. 10 (není zobrazeno).

Odpovědi

i) Posloupnost S odpovídající oblasti posloupnosti obrázků je:

S = {0, 2, 6, 12, 20,….. }

ii) Posloupnost odpovídající postupným rozdílům podmínek S je:

S _diff = {2, 4, 6, 8,….. }

Protože rozdíl mezi po sobě jdoucími podmínkami není konstantní, pak S není pravidelná sekvence. Zbývá vědět, zda je kvadratický, pro který opět provedeme posloupnost rozdílů a získáme:

{2, 2, 2, …….}

Protože se opakují všechny termíny sekvence, je potvrzeno, že S je kvadratická sekvence.

iii) Sekvence S _dif je pravidelná a její poměr R je 2. Při použití rovnice uvedené výše R = 2 ∙ A zůstává:

2 = 2 ∙ A, což znamená, že A = 1.

Druhý člen posloupnosti rozdílů S _Dif je 4 a n-tý člen S _Dif je

A ∙ (2n + 1) + B.

Druhý člen má n = 2. Kromě toho již bylo zjištěno, že A = 1, takže pomocí předchozí rovnice a substituce máme:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Při řešení pro B dostaneme: B = -1.

Je známo, že druhý člen S má hodnotu 2 a že musí splňovat vzorec obecného termínu s n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

To znamená

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Došlo se k závěru, že C = 0, to znamená, že vzorec, který dává obecný termín sekvence S, je:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Nyní se ověřuje páté funkční období:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Obrázek č. 10, který zde nebyl nakreslen, bude mít oblast odpovídající desátému členu sekvence S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Reference

1. https://www.geogebra.org