Riemann součet je název pro přibližný výpočet konečný základní, a to prostřednictvím diskrétní součet s konečným počtem podmínek. Běžnou aplikací je aproximace oblasti funkcí v grafu.

Byl to německý matematik Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), který nejprve nabídl přísnou definici integrálu funkce v daném intervalu. Oznámil to v článku publikovaném v roce 1854.

Obrázek 1. Součet Riemanna je definován na funkci f a na oddílu v intervalu. Zdroj: Fanny Zapata.

Součet Riemanna je definován funkcí y = f (x), přičemž x patří do uzavřeného intervalu. V tomto intervalu se vytvoří oddíl P prvků n:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

To znamená, že interval je rozdělen takto:

x _k-1 ≤ t _k ≤ x _k

Obrázek 1 graficky ukazuje Riemannův součet funkce f v intervalu na rozdělení čtyř podintervalů, šedých obdélníků.

Součet představuje celkovou plochu obdélníků a výsledek tohoto součtu numericky aproximuje plochu pod křivkou f, mezi vodorovnou osou x = x _{0 a} x = x ₄.

Aproximace k oblasti pod křivkou se samozřejmě výrazně zlepšuje, protože počet n oddílů je větší. Tímto způsobem se součet konverguje k oblasti pod křivkou, když počet n oddílů má sklon k nekonečnu.

Vzorce a vlastnosti

Součet Riemanna funkce f (x) na oddílu:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Definováno v intervalu je dáno:

S (P, F) = Σ _{k = 1} ⁿ f (t _k) (x _k - x _k-1)

Kde t _k je hodnota v intervalu. V Riemannově součtu se obvykle používají pravidelné intervaly šířky Δx = (b - a) / n, kde aab jsou minimální a maximální hodnoty úsečky, zatímco n je počet subdivizí.

V takovém případě je správná částka Riemanna:

Sd (f, n) = * Ax

Obrázek 2. Riemannova pravá částka. Zdroj: Wikimedia Commons. 09glasgow09.

Zatímco Riemannova levá částka je vyjádřena jako:

Pokud (f, n) = * Δx

Obrázek 3. Levý Riemannův součet. Zdroj: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Konečně centrální Riemannova suma je:

Sc (f, n) = * Δx

Obrázek 4. Mezilehlý Riemannův součet. Zdroj: Wikimedia Commons. 09glasgow09

V závislosti na tom, kde je bod t _k umístěn v intervalu, může Riemannova suma podceňovat nebo podceňovat přesnou hodnotu oblasti pod křivkou funkce y = f (x). Jinými slovy, obdélníky mohou vyčnívat z křivky nebo být mírně pod ní.

Plocha pod křivkou

Hlavní vlastnost Riemannovy součty, z níž vyplývá její důležitost, spočívá v tom, že pokud počet dělení má sklon k nekonečnu, výsledek součtu konverguje k určitému integrálu funkce:

Řešená cvičení

- Cvičení 1

Vypočítejte hodnotu určitého integrálu mezi a = -2 až b = +2 funkce:

f (x) = x ²

Využijte částku Riemanna. Nejprve vyhledejte součet n pravidelných oddílů intervalu a poté vezměte matematický limit pro případ, že počet oddílů má sklon k nekonečnu.

Řešení

Následují tyto kroky:

- V první řadě je interval oddílů definován jako:

Δx = (b - a) / n.

- Poté, co Riemannova suma napravo odpovídající funkci f (x) vypadá takto:

-A pak je to v součtu pečlivě nahrazeno:

- Dalším krokem je oddělit součty a vzít konstantní množství jako společný faktor každé součtu. Je nutné vzít v úvahu, že index je i, proto se čísla a termíny s n považují za konstantní:

- Každá částka je vyhodnocena, protože u každé z nich jsou vhodné výrazy. Například první ze součtů dává n:

- Konečně integrál, který se má spočítat, je:

Čtenář si může ověřit, že se jedná o přesný výsledek, který lze získat řešením neurčitého integrálu a vyhodnocením mezí integrace Barrowovým pravidlem.

- Cvičení 2

Přibližně určit oblast pod funkcí:

f (x) = (1 / √ (2π)) e ^{(-x 2 /2)}

Zadejte x = -1 a x = + 1, s použitím střední sumy Riemann s 10 oddíly. Porovnejte s přesným výsledkem a odhadněte procentuální rozdíl.

Řešení

Krok nebo přírůstek mezi dvěma po sobě jdoucími diskrétními hodnotami je:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2

Oddíl P, na kterém jsou definovány obdélníky, tak vypadá takto:

P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0}

Ale protože je hledán centrální součet, bude funkce f (x) vyhodnocena ve středu podintervalů, tj. V sadě:

T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.

(Centrální) Riemannova suma vypadá takto:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 +… + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

Protože funkce f je symetrická, je možné snížit součet pouze na 5 členů a výsledek se vynásobí dvěma:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0,2 * {0,397 + 0,381 + 0,352 + 0,322 + 0,266} = 0,683

Funkce uvedená v tomto příkladu není nikdo jiný než známý Gaussův zvon (normalizovaný, se střední hodnotou rovnou nule a standardní odchylkou jedna). Je známo, že plocha pod křivkou v intervalu pro tuto funkci je 0,6827.

Obrázek 5. Plocha pod gaussovským zvonem aproximovaná Riemannovým součtem. Zdroj: F. Zapata.

To znamená, že přibližné řešení s pouhých 10 termíny odpovídá přesnému řešení na tři desetinná místa. Procentní chyba mezi přibližným a přesným integrálem je 0,07%.

Reference

1. Casteleiro, JM, a Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrální počet (ilustrovaná ed.). Madrid: ESIC Editorial.
2. Unican. Historie pojmu integrál. Obnoveno z: repositorio.unican.es
3. UIS. Riemann sumy. Obnoveno z: matematicas.uis.edu.co
4. Wikipedia. Riemann součet. Obnoveno z: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Riemannova integrace. Obnoveno z: es.wikipedia.com