TEORIE MNOŽIN: VLASTNOSTI, PRVKY, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Teorie množin je odvětví formální logiky-, který je zodpovědný za studium vztahů mezi osobami s názvem sady. Soupravy se vyznačují souborem předmětů stejné povahy. Uvedené objekty jsou prvky sady a mohou to být: čísla, písmena, geometrické obrázky, slova představující objekty, samotné objekty a další.

Koncem 19. století navrhl teorii množin Georg Cantor. Zatímco další významní matematici ve 20. století se formalizovali: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel.

Obrázek 1. Vennův diagram množin A, B a jejich průnik A⋂ B. (Vlastní zpracování).

Vennovy diagramy jsou grafickým způsobem, jak reprezentovat množinu, a sestávají z obrázku uzavřené roviny, uvnitř kterého jsou prvky množiny.

Například na obrázku 1 jsou znázorněny dvě sady A a B, které mají společné prvky, prvky společné pro A a B. Tyto tvoří novou množinu nazvanou průnikovou sadu A a B, která je zapsána ve formě symbolický takto:

A ∩ B

vlastnosti

Sada je primitivní pojem, protože je v geometrii pojmem bod, čára nebo rovina. Neexistuje lepší způsob, jak vyjádřit tento koncept, než poukazováním na příklady:

Sada E tvořená barvami španělské vlajky. Tento způsob vyjádření souboru se nazývá pochopením. Stejná množina E zapsaná jako přípona je:

E = {červená, žlutá}

V tomto případě jsou červená a žlutá prvky sady E. Je třeba poznamenat, že prvky jsou uvedeny v složených závorkách a neopakují se. V případě španělské vlajky existují tři barevné pruhy (červený, žlutý, červený), z nichž dva se opakují, ale prvky se při vyjádření celku neopakují.

Předpokládejme, že soubor V tvoří první tři samohlásky:

V = {a, e, i}

Síla výkonu V, označená P (V), je sada všech sad, které mohou být vytvořeny s prvky V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Druhy sad

Konečná sada

Je to soubor, ve kterém jsou jeho prvky spočítatelné. Příklady konečných množin jsou mimo jiné písmena španělské abecedy, samohlásky španělské, planety sluneční soustavy. Počet prvků v konečném souboru se nazývá jeho mohutnost.

Nekonečná sada

Nekonečná množina je chápána tak, že počet jejích prvků je nespočetný, protože bez ohledu na to, jak velký počet jejích prvků může být, je vždy možné najít více prvků.

Příkladem nekonečné množiny je množina přirozených čísel N, která se v rozsáhlé podobě vyjadřuje takto:

N = {1, 2, 3, 4, 5,…. Je zřejmé, že mohutnost nekonečné množiny je ∞.

Prázdná sada

Je to sada, která neobsahuje žádný prvek. Prázdná množina V je označena Ø nebo dvojicí kláves bez prvků uvnitř:

V = {} = Ø.

Prázdná množina je jedinečná, proto musí být nesprávné říkat „prázdná množina“, správným formulářem je „prázdná množina“.

Mezi vlastnosti prázdné sady máme to, že je podmnožinou jakékoli sady:

Ø ⊂ A

Dále, pokud je sada podmnožinou prázdné sady, pak nutně řečenou sadou bude vakuum:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Unitary set

Jednotková sada je jakákoli sada, která obsahuje jeden prvek. Například sada přírodních satelitů Země je jednotná sada, jejímž jediným prvkem je Měsíc. Sada B celých čísel menších než 2 a větších než nula má pouze prvek 1, proto je to sada jednotek.

Binární sada

Sada je binární, pokud má pouze dva prvky. Například množina X, taková, že x je řešení reálných čísel x ^ 2 = 2. Tato množina podle přípon je zapsána takto:

X = {-√2, + √2}

Univerzální sada

Univerzální sada je sada, která obsahuje další sady stejného typu nebo povahy. Například univerzální sada přirozených čísel je sada reálných čísel. Skutečná čísla jsou však univerzální sadou i celých čísel a racionálních čísel.

Klíčové položky

- Vztahy mezi množinami

V sestavách lze mezi nimi a jejich prvky navázat různé typy vztahů. Pokud dvě sady A a B mají mezi sebou přesně stejné prvky, je vytvořen vztah rovnosti, označený takto:

A = B

Pokud všechny prvky množiny A patří do množiny B, ale ne všechny prvky B patří do A, pak mezi těmito množinami existuje inkluzivní vztah, který je označen takto:

A ⊂ B, ale B ⊄ A

Výše uvedený výraz zní: A je podmnožinou B, ale B není podmnožinou A.

K označení toho, že některý prvek nebo elementy patří do množiny, se používá symbol členství ∈, například k tomu, aby se říkalo, že prvek nebo prvky x patří do množiny A, je psán symbolicky takto:

x ∈ A

Pokud prvek nepatří do množiny A, je tento vztah zapsán takto:

a ∉ A

Členský vztah nastává mezi elementy množiny a sadou, s jedinou výjimkou sady výkonů, přičemž sada výkonů je sada nebo sada všech možných sad, které mohou být vytvořeny s prvky uvedené sady.

Předpokládejme, že V = {a, e, i}, jeho výkon je P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}, v takovém případě se sada V stává prvkem množiny P (V) a lze ji napsat:

V ∈ P (V)

- Vlastnosti inkluze

První vlastnost inkluze prokazuje, že každá sada je obsažena sama o sobě nebo jinými slovy, že je její podmnožinou:

A ⊂ A

Druhou vlastností inkluze je transitivita: pokud A je podmnožinou B a B je zase podmnožinou C, pak A je podmnožinou C. V symbolické podobě je vztah transitivity psán následovně:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Níže je Vennův diagram odpovídající transitivitě inkluze:

Obrázek 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Operace mezi sadami

Průsečík

Průsečík je operace mezi dvěma sadami, která dává vznik nové sadě patřící do stejné univerzální sady jako první dvě. V tomto smyslu se jedná o uzavřenou operaci.

Symbolicky je operace průniku formulována takto:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Příkladem je následující: množina písmen A ve slově „elementy“ a množina písmen B slova „opakované“, průsečík mezi A a B je zapsána takto:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Univerzální množina U A, B a také A⋂B je sada písmen španělské abecedy.

unie

Spojení dvou sad je množina tvořená prvky společnými oběma sadám a neobvyklými prvky obou sad. Spojovací operace mezi množinami je vyjádřena symbolicky takto:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Rozdíl

Rozdílná operace sady A mínus sady B je označena AB. AB je nová sada tvořená všemi prvky, které jsou v A a které nepatří do B. Symbolicky je psáno takto:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Obrázek 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Symetrický rozdíl

Symetrický rozdíl je operace mezi dvěma sadami, kde je výsledná sada tvořena prvky, které nejsou oběma sadám společné. Symetrický rozdíl je symbolicky znázorněn takto:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Příklady

Příklad 1

Venn diagram je grafický způsob reprezentace množin. Například sada C písmen ve slovní sadě je znázorněna takto:

Příklad 2

Venn diagramy ukazují, že sada samohlásek ve slově „set“ je podmnožinou sady písmen ve slově „set“.

Příklad 3

Sada Ñ písmen španělské abecedy je konečná množina, tato množina podle přípon je psána takto:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} a její mohutnost je 27.

Příklad 4

Množina V samohlásek ve španělštině je podmnožinou množiny Ñ:

V ⊂ Ñ je proto konečná množina.

Konečná množina V v rozsáhlé podobě je psána takto: V = {a, e, i, o, u} a její mohutnost je 5.

Příklad 5

Vzhledem k sadám A = {2, 4, 6, 8} a B = {1, 2, 4, 7, 9} určete AB a BA.

A - B jsou prvky A, které nejsou v B:

A - B = {6, 8}

B - A jsou prvky B, které nejsou v A:

B - A = {1, 7, 9}

Řešená cvičení

Cvičení 1

Napište symbolickou formou a také rozšířením množiny P sudých přirozených čísel menších než 10.

Řešení: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Cvičení 2

Předpokládejme, že množina A, která je tvořena přirozenými čísly, které jsou faktory 210, a množina B, která je tvořena prvočíselnými přirozenými čísly menšími než 9. Určete rozšířením obě sady a vytvořte vztah mezi těmito dvěma množinami.

Řešení: Abychom určili prvky množiny A, musíme začít hledáním faktorů přirozeného čísla 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Pak se zapíše sada A:

A = {2, 3, 5, 7}

Nyní uvažujeme, že množina B, která je prvočísla menší než 9,1, není prvočísla, protože nesplňuje definici prvočísla: „číslo je prvočíslo, a pokud má přesně dva dělitele, 1 a samotné číslo.“ 2 je sudý a současně je prvočíselný, protože splňuje definici prvočísla, ostatní prvočísla menší než 9 jsou 3, 5 a 7. Takže množina B je:

B = {2, 3, 5, 7}

Proto jsou tyto dvě sady stejné: A = B.

Cvičení 3

Určete množinu, jejíž prvky x se liší od x.

Řešení: C = {x / x ≠ x}

Protože každý prvek, číslo nebo objekt se rovná sobě samému, sada C nemůže být jiná než prázdná sada:

C = Ø

Cvičení 4

Nechť je množina N přirozených čísel a Z množina celých čísel. Stanovte N ⋂ Z a N ∪ Z.

Řešení:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z, protože N ⊂ Z.

Reference

1. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Jak řešit kvadratickou rovnici. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF, a Paul, RS (2003). Matematika pro řízení a ekonomiku. Pearsonovo vzdělávání.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematika 1 SEP. Práh.
4. Preciado, CT (2005). Matematický kurz 3.. Editorial Progreso.
5. Mathematics 10 (2018). "Příklady konečných sad". Obnoveno z: matematicas10.net
6. Wikipedia. Teorie množin. Obnoveno z: es.wikipedia.com