Bayes Věta je postup, který umožňuje, aby vyjádřit podmíněnou pravděpodobnost náhodný jev daný B, pokud jde o rozdělení pravděpodobnosti události A a B, neboť rozdělení pravděpodobnosti pouze A.
Tato věta je velmi užitečná, protože díky ní můžeme spojit pravděpodobnost, že nastane událost A, s vědomím, že došlo k B, s pravděpodobností, že nastane opak, to znamená, že B nastane s ohledem na A.
Bayesova věta byla stříbrným výrokem reverenda Thomase Bayese, anglického teologa 18. století, který byl také matematikem. Byl autorem několika prací v teologii, ale dnes je známý několika matematickými pojednáními, mezi nimiž vyniká výše uvedená Bayesova věta.
Bayes se zabýval touto teorémem v díle nazvaném „Esej k řešení problému v doktríně šancí“, publikované v roce 1763, a na kterém bylo vyvinuto velké množství. studia s aplikacemi v různých oblastech znalostí.
Vysvětlení
Za prvé, pro lepší pochopení této věty jsou nezbytné některé základní pojmy teorie pravděpodobnosti, zejména multiplikační věta pro podmíněnou pravděpodobnost, která uvádí, že
Pro E a A libovolné události vzorového prostoru S.
A definice přepážek, které nám říká, že pokud budeme mít 1, A 2,…, A n události vzorku prostoru S, budou tvořit oddíl S, je-li A i se vzájemně vylučují a jejich odbor je S.
Vzhledem k tomu nechť B je další událost. Takže můžeme vidět B jako
Kde Ai protínané s B jsou vzájemně se vylučující události.
A v důsledku toho
Poté aplikujte multiplikační teorém
Na druhé straně podmíněná pravděpodobnost Ai dané B je definována pomocí
Vhodně nahrazujeme, máme to pro jakékoli i
Aplikace Bayesovy věty
Díky tomuto výsledku se výzkumným skupinám a různým společnostem podařilo vylepšit systémy založené na znalostech.
Například při studiu nemocí může Bayesova věta pomoci rozeznat pravděpodobnost, že se nemoc vyskytuje ve skupině lidí s danou charakteristikou, přičemž jako údaje se vezme jako globální míra choroby a prevalence uvedených charakteristik v zdravých i nemocných lidí.
Na druhou stranu ve světě špičkových technologií ovlivnil velké společnosti, které díky tomuto výsledku vyvinuly software „založený na znalostech“.
Jako každodenní příklad máme asistenta Microsoft Office. Bayesova věta pomáhá softwaru vyhodnotit problémy, které uživatel představuje, a určit, jaké rady mu dát, a tak být schopen nabídnout lepší služby podle zvyklostí uživatele.
Zejména byl tento vzorec až do nedávné doby ignorován, je to hlavně proto, že když byl tento výsledek vyvinut před 200 lety, bylo pro ně jen málo praktického využití. V dnešní době však vědci díky velkému technologickému pokroku našli způsoby, jak tento výsledek uvést do praxe.
Řešená cvičení
Cvičení 1
Společnost poskytující mobilní telefony má dva stroje A a B. 54% vyrobených mobilních telefonů je vyrobeno strojem A a zbytek strojem B. Ne všechny vyrobené mobilní telefony jsou v dobrém stavu.
Podíl vadných mobilních telefonů vyrobených A je 0,2 a B je 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že mobilní telefon z této továrny bude vadný? Jaká je pravděpodobnost, že s vědomím, že mobilní telefon je vadný, pochází ze stroje A?
Řešení
Zde máte experiment, který se provádí ve dvou částech; v první části dochází k událostem:
A: buňka vyrobená strojem A.
B: buňka vyrobená strojem B.
Protože stroj A produkuje 54% mobilních telefonů a zbytek je vyráběn strojem B, znamená to, že stroj B produkuje 46% mobilních telefonů. Pravděpodobnost těchto událostí je uvedena, konkrétně:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Události druhé části experimentu jsou:
D: vadný mobilní telefon.
E: nefunkční mobilní telefon.
Jak je uvedeno v prohlášení, pravděpodobnost těchto událostí závisí na výsledku získaném v první části:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Pomocí těchto hodnot lze také určit pravděpodobnost doplňování těchto událostí, to znamená:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
a
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Nyní lze událost D napsat následujícím způsobem:
Použití multiplikační věty pro výsledky podmíněné pravděpodobnosti:
Načež je zodpovězena první otázka.
Nyní potřebujeme pouze spočítat P (AD), pro které je použita Bayesova věta:
Díky Bayesově teorému lze konstatovat, že pravděpodobnost, že mobilní telefon byl vyroben strojem A, protože ví, že je mobilní telefon vadný, je 0,319.
Cvičení 2
Tři krabice obsahují černé a bílé koule. Složení každé z nich je následující: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Jedna z políček je vybrána náhodně a míč je náhodně nakreslen, který se ukáže jako bílý. Jaká krabice byla s největší pravděpodobností vybrána?
Řešení
Pomocí U1, U2 a U3 budeme také reprezentovat vybrané pole.
Tyto události tvoří oddíl S a je ověřeno, že P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, protože volba pole je náhodná.
Pokud B = {nakreslená koule je bílá}, budeme mít P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
To, co chceme získat, je pravděpodobnost, že míč byl vyřazen z pole Ui, protože věděl, že uvedený míč byl bílý, tj. P (Ui-B), a uvidíme, která ze tří hodnot byla nejvyšší, o které z nich bylo známo box byl s největší pravděpodobností extrakce cue koule.
Použití Bayesovy věty na první z polí:
A pro další dva:
P (U2-B) = 2/6 a P (U3-B) = 1/6.
Poté je první z krabic ta, která má nejvyšší pravděpodobnost, že byla vybrána pro extrakci tága.
Reference
- Kai Lai Chung. Teorie základních schopností se stochastickými procesy. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Rosen Diskrétní matematika a její aplikace. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Pravděpodobnost a statistické aplikace. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 řešené problémy diskrétní matematiky. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Problémy teorie a pravděpodobnosti. McGRAW-HILL.