CHEBYSHOVOVA VĚTA: CO TO JE, APLIKACE A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Věta Chebyshev (Chebyshev nebo nerovnost) je jedním z nejdůležitějších klasických výsledků teorie pravděpodobnosti. Umožňuje odhadnout pravděpodobnost události popsané z hlediska náhodné proměnné X tím, že nám poskytne hranici, která nezávisí na distribuci náhodné proměnné, ale na rozptylu X.

Věta je pojmenována po ruském matematikovi Pafnuti Chebyshově (také psaném jako Chebychev nebo Tchebycheff), který, i když nebyl první teorémem státu, byl první, kdo dal důkaz v roce 1867.

Tato nerovnost, nebo ty, které se kvůli jejich charakteristice nazývají Chebyshovova nerovnost, se používá hlavně k přibližování pravděpodobností výpočtem hranic.

Z čeho se skládá?

Ve studii teorie pravděpodobnosti se objevuje, že pokud je známa distribuční funkce náhodné proměnné X, její očekávaná hodnota - nebo matematické očekávání E (X) - a její rozptyl Var (X) lze vypočítat, pokud takové částky existují. Avšak obrácení nemusí být nutně pravda.

To znamená, že s vědomím E (X) a Var (X) není nezbytně možné získat distribuční funkci X, proto je velmi obtížné získat množství, jako je P (-X-> k) pro některé k> 0. Ale díky Chebyshovově nerovnosti je možné odhadnout pravděpodobnost náhodné proměnné.

Chebyshovova věta nám říká, že pokud máme náhodnou proměnnou X nad vzorkovacím prostorem S s pravděpodobnostní funkcí p, a pokud k> 0, pak:

Aplikace a příklady

Z mnoha aplikací Chebyshovovy věty lze zmínit následující:

Omezení pravděpodobnosti

Toto je nejběžnější aplikace a používá se k udání horní hranice pro P (-XE (X) -≥k) kde k> 0, pouze s rozptylem a očekáváním náhodné proměnné X, aniž by byla znána pravděpodobnostní funkce.

Příklad 1

Předpokládejme, že počet produktů vyrobených ve společnosti během týdne je náhodná proměnná s průměrem 50.

Je-li známo, že rozptyl jednoho týdne produkce je roven 25, co můžeme říci o pravděpodobnosti, že se tento týden bude výroba lišit od průměru o více než 10?

Řešení

Při použití Chebyshovovy nerovnosti máme:

Z toho můžeme získat, že pravděpodobnost, že v týdnu výroby počet článků překročí průměr o více než 10, je maximálně 1/4.

Důkazy o limitu

Chebyshovova nerovnost hraje důležitou roli při dokazování nejdůležitějších limitních vět. Jako příklad máme následující:

Slabý zákon velkého počtu

Tento zákon uvádí, že vzhledem k posloupnosti X1, X2,…, Xn,… nezávislých náhodných proměnných se stejným průměrným rozložením E (Xi) = μ a rozptylem Var (X) = σ ² a známým průměrným vzorkem:

Pak pro k> 0 máme:

Nebo rovnocenně:

Demonstrace

Nejprve si všimněte následujícího:

Protože X1, X2,…, Xn jsou nezávislé, vyplývá z toho:

Proto je možné uvést následující:

Pak pomocí Chebyshovovy věty máme:

Konečně, věta vyplývá ze skutečnosti, že limit napravo je nula, když se n blíží nekonečnu.

Je třeba poznamenat, že tento test byl proveden pouze pro případ, ve kterém existuje rozptyl Xi; to znamená, že se neodchyluje. Pozorujeme tedy, že věta je vždy pravdivá, pokud existuje E (Xi).

Chebyshovova věta o omezení

Pokud X1, X2,…, Xn,… je sekvence nezávislých náhodných proměnných, takže existuje nějaké C <nekonečno, takové, že Var (Xn) ≤ C pro všechny přirozené n, pak pro jakékoli k> 0:

Demonstrace

Protože posloupnost rozptylů je rovnoměrně ohraničena, máme Var (Sn) ≤ C / n, pro všechny přirozené n. Ale víme, že:

Díky n inklinují k nekonečnu, následující výsledky:

Protože pravděpodobnost nemůže překročit hodnotu 1, získá se požadovaný výsledek. V důsledku této věty bychom mohli zmínit konkrétní případ Bernoulliho.

Pokud je experiment opakován nkrát nezávisle se dvěma možnými výstupy (selhání a úspěch), kde p je pravděpodobnost úspěchu v každém experimentu a X je náhodná proměnná, která představuje počet získaných úspěchů, pak pro každý k> 0 musíš:

Velikost vzorku

Co se týče rozptylu, Chebyshovova nerovnost nám umožňuje najít velikost vzorku n, která je dostatečná k zajištění toho, že pravděpodobnost výskytu -Sn-μ -> = k je tak malá, jak je požadováno, což umožňuje aproximaci do průměru.

Konkrétně nechť X1, X2,… Xn je vzorek nezávislých náhodných proměnných velikosti n a předpokládejme, že E (Xi) = μ a jeho rozptyl σ ². Potom, Chebyshovovou nerovností, máme:

Příklad

Předpokládejme, že X1, X2,… Xn jsou vzorkem nezávislých náhodných proměnných s Bernoulliho distribucí, takže berou hodnotu 1 s pravděpodobností p = 0,5.

Jaká musí být velikost vzorku, aby bylo možné zaručit, že pravděpodobnost, že rozdíl mezi aritmetickým průměrem Sn a jeho očekávanou hodnotou (překračující více než 0,1), bude menší nebo roven 0,01?

Řešení

Máme, že E (X) = μ = p = 0,5 a že Var (X) = < ² = p (1-p) = 0,25. Podle Chebyshovovy nerovnosti máme pro k> 0:

Nyní, k = 0,1 a δ = 0,01, máme:

Tímto způsobem se dochází k závěru, že je potřebná velikost vzorku alespoň 2500, aby se zajistilo, že pravděpodobnost události -Sn - 0,5 -> = 0,1 je menší než 0,01.

Nerovnosti typu Chebyshov

S Chebyshovovou nerovností existuje několik nerovností. Jedním z nejznámějších je Markovova nerovnost:

V tomto výrazu X je nezáporná náhodná proměnná s k, r> 0.

Markovova nerovnost může mít různé podoby. Například nechť Y je nezáporná náhodná proměnná (takže P (Y> = 0) = 1) a předpokládejme, že E (Y) = μ existuje. Předpokládejme rovněž, že (E (Y)), ^r = μ _r existuje nějaké celé číslo r> 1. Tak:

Další nerovností je Gaussian, který nám říká, že vzhledem k unimodální náhodné proměnné X s režimem na nule, pak pro k> 0,

Reference

1. Kai Lai Chung. Teorie základních schopností se stochastickými procesy. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen Diskrétní matematika a její aplikace. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Pravděpodobnost a statistické aplikace. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 řešené problémy diskrétní matematiky. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Problémy teorie a pravděpodobnosti. McGRAW-HILL.