MOIVREOVA VĚTA: DŮKAZOVÁ A ŘEŠENÁ CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Věta Moivre aplikované algebry základních procesů, jako je například sil a extrakcí kořenů v komplexních čísel. Věta byla uvedena renomovaným francouzským matematikem Abrahamem de Moivre (1730), který spojoval komplexní čísla s trigonometrií.

Abraham Moivre vytvořil toto spojení prostřednictvím výrazů sine a cosine. Tento matematik vytvořil jakýsi vzorec, pomocí kterého je možné zvýšit komplexní číslo z na mocninu n, což je kladné celé číslo větší nebo rovno 1.

Co je Moivreova věta?

Moivreova věta uvádí následující:

Pokud máme komplexní číslo v polární podobě z = r _Ɵ, kde r je modul komplexního čísla z a úhel Ɵ se nazývá amplituda nebo argument jakéhokoli komplexního čísla s 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, vypočítáme jeho n– síla nebude nutné ji násobit n-krát; to znamená, že není nutné vyrábět následující produkt:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*… *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *… *} r _Ɵ n-krát.

Naopak, věta říká, že při psaní z ve své trigonometrické podobě vypočítáme n-tou sílu takto:

Pokud z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), potom z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Například, je-li n = 2, potom Z ² = r ². Je-li n = 3, pak je z ³ = z ² _* z. Taky:

z ³ = R ² _* r = r ³.

Tímto způsobem lze získat trigonometrické poměry sinu a cosinu pro násobky úhlu, pokud jsou známy trigonometrické poměry úhlu.

Stejně tak lze použít k nalezení přesnějších a méně matoucích výrazů pro n-tého kořene komplexního čísla z, takže z ⁿ = 1.

K prokázání Moivreovy věty se používá princip matematické indukce: pokud celé číslo „a“ má vlastnost „P“, a pokud pro jakékoli celé číslo „n“ větší než „a“, které má vlastnost „P“ Naplňuje, že n + 1 má také vlastnost "P", pak všechna celá čísla větší nebo rovná "a" mají vlastnost "P".

Demonstrace

Důkaz věty se tedy provádí pomocí následujících kroků:

Indukční základna

Nejprve se zkontroluje n = 1.

Protože z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹, věta platí pro n = 1.

Induktivní hypotéza

Vzorec je považován za pravdivý pro některé kladné celé číslo, tj. N = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Ověření

Ukázalo se, že to platí pro n = k + 1.

Protože z ^{k + 1} = z ^k _* z, pak z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Pak jsou výrazy násobeny:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Na okamžik se faktor r ^{k + 1} ignoruje a vezme se společný faktor i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Protože i ² = -1, nahradíme jej ve výrazu a dostaneme:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Nyní je objednána skutečná část a imaginární část:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Pro zjednodušení výrazu se pro kosinus a sinus použijí trigonometrické identity součtu úhlů, které jsou:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

V tomto případě jsou proměnnými úhly Ɵ a kƟ. Při použití trigonometrických identit máme:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

Tímto způsobem je výraz:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Mohlo by se tedy ukázat, že výsledek platí pro n = k + 1. Na základě principu matematické indukce se dospělo k závěru, že výsledek platí pro všechna kladná celá čísla; to znamená n ≥ 1.

Záporné celé číslo

Moivreova věta je také aplikována, když n ≤ 0. Uvažujme záporné celé číslo «n»; pak "n" lze napsat jako "-m", tj. n = -m, kde "m" je kladné celé číslo. Tím pádem:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Pro získání exponentu «m» pozitivním způsobem je výraz zapsán inverzně:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Nyní se používá, že pokud z = a + b * i je komplexní číslo, pak 1 ÷ z = ab * i. Tím pádem:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

S použitím cos (x) = cos (-x) a -sen (x) = sin (-x) máme:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Lze tedy říci, že věta platí pro všechny celočíselné hodnoty „n“.

Řešená cvičení

Výpočet kladných sil

Jednou z operací s komplexními čísly v jejich polární formě je násobení dvěma z nich; v tom případě jsou moduly násobeny a argumenty jsou přidány.

Pokud máte dva komplexní čísla Z _{1 a} Z ₂ a chcete spočítat (z ₁ * z ₂) ², pak postupujte následovně:

z ₁ z ₂ = *

Distribuční vlastnost platí:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂).

Oni jsou seskupení, brát termín “i” jako obyčejný faktor výrazů:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Protože i ² = -1, je nahrazen výrazem:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Skutečné termíny jsou seskupeny se skutečnými a imaginární s imaginárními:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Nakonec platí trigonometrické vlastnosti:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂.

Na závěr:

(z ₁ * z ₂) ² = (r ₁ r ₂) ²

= r ₁ ² r ₂ ².

Cvičení 1

Napište komplexní číslo v polární podobě, pokud z = - 2 -2i. Potom pomocí Moivreovy věty vypočtěte z ⁴.

Řešení

Komplexní číslo z = -2 -2i je vyjádřeno v pravoúhlém tvaru z = a + bi, kde:

a = -2.

b = -2.

S vědomím, že polární forma je z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), musíme určit hodnotu modulu „r“ a hodnotu argumentu „Ɵ“. Protože r = √ (a² + b²), jsou dané hodnoty nahrazeny:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2–2.

Poté se pro určení hodnoty «Ɵ» použije obdélníkový tvar, který je dán vzorcem:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Protože tan (Ɵ) = 1 a máme <0, pak máme:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Protože již byla získána hodnota «r» a «Ɵ», lze komplexní číslo z = -2 -2i vyjádřit v polární podobě nahrazením hodnot:

z = 2 - 2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Nyní použijeme Moivrovu teorém pro výpočet z ⁴:

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Cvičení 2

Najděte součin komplexních čísel vyjádřením v polární podobě:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o)

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o).

Pak vypočítejte (z1 * z2) ².

Řešení

Nejprve se vytvoří produkt daných čísel:

z ₁ z ₂ = *

Poté se moduly násobí a přidají se argumenty:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Výraz je zjednodušený:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o).

Nakonec platí Moivreova věta:

(z1 * z2) 2 = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o)) 2 = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o)).

Výpočet záporných sil

Pro rozdělení dvou komplexních čísel z _{1 a} z ₂ v polární podobě je modul rozdělen a argumenty jsou odečteny. Kvocient je tedy z ₁ ÷ z ₂ a vyjadřuje se takto:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Stejně jako v předchozím případě, pokud chceme vypočítat (z1 ÷ z2) ³, dělení se provede nejprve a poté se použije Moivreova věta.

Cvičení 3

Kostky:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)), z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)), vypočítat (z1 ÷ z2) ³.

Řešení

Na základě výše popsaných kroků lze dojít k závěru, že:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Reference

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra a trigonometrie s analytickou geometrií. Pearsonovo vzdělávání.
2. Croucher, M. (nd). Od Moivreovy věty pro Trig Identity. Projekt demonstrací Wolfram.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyklopedie matematiky.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra a trigonometrie.
5. Pérez, CD (2010). Pearsonovo vzdělávání.
6. Stanley, G. (nd). Lineární algebra. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Přepočet. Pearsonovo vzdělávání.