BINOMICKÁ VĚTA: DŮKAZ A PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Binomická věta je rovnice, která nám říká, jak vyvinout výraz tvaru (A + B) ⁿ pro nějaké přirozené číslo n. Binomial není nic víc než součet dvou prvků, jako (a + b). To také umožňuje, abychom věděli, na dobu, kterou poskytla ^k b ^n-k, co je koeficient, který doprovází ji.

Tato věta je obyčejně připisována anglickému vynálezci, fyzikovi a matematikovi Siru Isaacovi Newtonovi; Byly však nalezeny různé záznamy, které naznačují, že její existence byla známa již na Středním východě, kolem roku 1000.

Kombinatorická čísla

Binomická věta nám matematicky říká následující:

V tomto výrazu aab jsou reálná čísla a n je přirozené číslo.

Před uvedením dema se podívejme na některé základní pojmy, které jsou nezbytné.

Kombinatorické číslo nebo kombinace n v k se vyjadřují takto:

Tato forma vyjadřuje hodnotu, kolik podsad s prvky k lze vybrat ze sady n prvků. Jeho algebraický výraz je dán:

Podívejme se na příklad: Předpokládejme, že máme skupinu sedmi koulí, z nichž dvě jsou červené a ostatní modré.

Chceme vědět, kolik způsobů je můžeme uspořádat v řadě. Jedním ze způsobů by mohlo být umístění dvou červených do první a druhé polohy a zbývající koule do zbývajících pozic.

Podobně jako v předchozím případě jsme mohli dát červené kouli první a poslední pozici a ostatní obsadit modrými kouli.

Nyní je efektivní způsob, jak spočítat, kolik způsobů, jak můžeme uspořádat koule v řadě, pomocí kombinatorických čísel. Vidíme každou pozici jako prvek následující sady:

Pak zbývá jen vybrat podskupinu dvou prvků, ve kterých každý z těchto prvků představuje polohu, kterou zaujímají červené koule. Můžeme provést tuto volbu podle vztahu poskytnutého:

Tímto způsobem máme 21 způsobů, jak si tyto koule objednat.

Obecná myšlenka tohoto příkladu bude velmi užitečná při dokazování binomické věty. Podívejme se na konkrétní případ: pokud n = 4, máme (a + b) ⁴, což není nic víc než:

Při vývoji tohoto produktu nám zbývá součet podmínek získaných vynásobením jednoho prvku každého ze čtyř faktorů (a + b). Budeme tedy mít termíny, které budou mít podobu:

Pokud jsme chtěli získat termín ve tvaru a ⁴, musíme se znásobit takto:

Všimněte si, že existuje pouze jeden způsob, jak získat tento prvek; ale co se stane, když nyní hledáme termín formy a ² b ² ? Protože "a" a "b" jsou reálná čísla, a proto je komutativní zákon platný, máme jeden způsob, jak získat tento termín, znásobení se členy, jak je naznačeno šipkami.

Provádění všech těchto operací je obvykle poněkud zdlouhavé, ale pokud vidíme termín „a“ jako kombinaci, kde chceme vědět, kolik způsobů můžeme vybrat dva „a“ ze sady čtyř faktorů, můžeme použít myšlenku z předchozího příkladu. Máme tedy následující:

Víme tedy, že v konečné expanzi výrazu (a + b) ⁴ budeme mít přesně 6a ² b ². S využitím stejného nápadu pro další prvky musíte:

Potom přidáme výrazy získané dříve a máme to:

Toto je formální důkaz pro obecný případ, kde "n" je jakékoli přirozené číslo.

Demonstrace

Všimněte si, že výrazy, které zůstaly rozbalením (a + b) ^n, mají tvar a ^k b ^n-k, kde k = 0,1,…, n. S využitím myšlenky z předchozího příkladu máme způsob, jak vybrat proměnné «k» «a» faktorů «n»:

Tímto způsobem automaticky vybereme proměnné nk "b". Z toho vyplývá, že:

Příklady

S ohledem na (a + b) ⁵, jaký by byl jeho vývoj?

Podle binomické věty máme:

Binomická věta je velmi užitečná, pokud máme výraz, ve kterém chceme vědět, jaký je koeficient konkrétního termínu, aniž bychom museli provádět úplnou expanzi. Jako příklad můžeme uvést následující neznámé: jaký je koeficient x ⁷ a ⁹ v expanzi (x + y) ¹⁶ ?

Podle binomické věty máme tento koeficient:

Dalším příkladem by bylo: jaký je koeficient x ⁵ a ⁸ v expanzi (3x-7y) ¹³ ?

Nejprve pohodlně přepíšeme výraz; tohle je:

Pak pomocí binomické věty máme hledaný koeficient, když máme k = 5

Další příklad použití této věty je v důkazu některých společných identit, jako jsou ty, o nichž se dále zmíníme.

Identita 1

Pokud je «n» přirozené číslo, máme:

Pro důkaz použijeme binomickou teorém, kde «a» a «b» vezmou hodnotu 1. Pak máme:

Tímto způsobem jsme prokázali první identitu.

Identita 2

Pokud je „n“ přirozené číslo, pak

Podle binomické věty máme:

Další demonstrace

Můžeme udělat jiný důkaz pro binomickou teorém pomocí induktivní metody a Pascalovy identity, což nám říká, že pokud «n» a «k» jsou kladná celá čísla, která splňují n ≥ k, pak:

Indukční důkaz

Nejprve uvidíme, že indukční základna drží. Pokud n = 1, máme:

Ve skutečnosti vidíme, že je splněna. Nyní nechme n = j tak, že:

Chceme vidět, že pro n = j + 1 platí:

Musíme tedy:

Hypotézou víme, že:

Poté pomocí distribuční vlastnosti:

Následně rozvíjíme každou z těchto sumací:

Nyní, když se seskupíme pohodlným způsobem, máme následující:

S využitím identity pascalu máme:

Nakonec mějte na paměti, že:

Proto vidíme, že binomická věta platí pro všechna „n“, která patří k přirozeným číslům, a tím končí důkaz.

Zajímavosti

Kombinatorické číslo (nk) se také nazývá binomický koeficient, protože je to právě koeficient, který se objevuje ve vývoji binomického (a + b) ⁿ.

Isaac Newton dal zobecnění této věty pro případ, ve kterém exponent je skutečné číslo; Tato věta je známá jako Newtonova binomická věta.

Již ve starověku byl tento výsledek znám pro konkrétní případ, kdy n = 2. Tento případ je uveden v Euclid's Elements.

Reference

1. Johnsonbaugh Richard. Diskrétní matematika. PHH
2. Kenneth.H. Rosen Diskrétní matematika a její aplikace. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskrétní matematika. McGRAW-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskrétní a kombinatorická matematika. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Zelená hvězda Luis.. Diskrétní a kombinatorická matematika Anthropos