FOURIEROVA TRANSFORMACE: VLASTNOSTI, APLIKACE, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Fourierova transformace je analytická metoda přiměřenost orientována na integrovatelných funkcí, které patří do rodiny integrální transformace. Sestává z redefinice funkcí f (t) z hlediska Cos (t) a Sen (t).

Trigonometrické identity těchto funkcí, spolu s jejich odvozenými a antiderivačními charakteristikami, slouží k definování Fourierovy transformace pomocí následující komplexní funkce:

Což je pravda, pokud výraz dává smysl, to znamená, když je nesprávný integrál konvergentní. Algebraicky je Fourierova transformace považována za lineární homeomorfismus.

Každá funkce, kterou lze zpracovat pomocí Fourierovy transformace, musí být mimo definovaný parametr nulová.

Vlastnosti

Zdroj: pexels

Fourierova transformace splňuje následující vlastnosti:

Existence

K ověření existence Fourierovy transformace ve funkci f (t) definované v reálných hodnotách R musí být splněny následující 2 axiomy:

1. f (t) je po částech spojité pro všechny R
2. f (t) je integrovatelný do R

Fourierova transformační linearita

Nechť M (t) a N (t) jsou libovolné dvě funkce s určitými Fourierovými transformacemi, s libovolnými konstantami aab.

F (z) = a F (z) + bF (z)

Což je také podporováno linearitou integrálu stejného jména.

Fourierova transformace derivátu

Existuje funkce f, která je spojitá a integrovatelná do všech skutečností, kde:

A derivát f (f ') je spojitý a po částech definovaný v celém R

Fourierova transformace derivátu je definována integrací částmi, následujícím výrazem:

F (z) = iz F (z)

V derivacích vyššího řádu bude aplikován homologním způsobem, kde pro všechny n 1 máme:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Fourierova transformace diferenciace

Existuje funkce f, která je spojitá a integrovatelná do všech skutečností, kde:

Fourierova transformace překladu

Pro každou θ, která patří do množiny S a T, která patří do množiny S ', máme:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

S τ pracuje jako operátor překladu na vektoru a.

Překlad Fourierovy transformace

Pro každou θ, která patří do množiny S a T, která patří do množiny S ', máme:

τ _a F = F τ _a F = F

Pro všechny z nich patří R

Fourierova transformace měřítkové skupiny

Pro všechny 9, které patří do sady S. T, které patří do sady S '

λ patřící do R - {0} máme:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ)

F = (1 / -λ-) F (y / λ)

Jestliže f je spojitá a jasně integrovatelná funkce, kde a> 0. Pak:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

K prokázání tohoto výsledku můžeme pokračovat se změnou proměnné.

Když T → + pak s = na → + ∞

Když T → - pak s = na → - ∞

Symetrie

Pro studium symetrie Fourierovy transformace musí být ověřena identita Parsevala a Plancherelova vzorce.

Máme θ a δ, které patří S. Odtud lze odvodit, že:

Získávání

1 / (2π) ^d { F, F } Parsevální identita

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherel vzorec

Fourierova transformace produktu konvoluce

Sledováním podobných cílů jako v Laplaceově transformaci se konvoluce funkcí vztahuje na produkt mezi jejich Fourierovými transformacemi.

Máme f a g jako 2 ohraničené, definované a zcela integrovatelné funkce:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Kontinuita a upadnutí do nekonečna

K čemu je Fourierova transformace?

Slouží primárně k významnému zjednodušení rovnic, zatímco transformuje odvozené výrazy do mocenských prvků a označuje diferenciální výrazy ve formě integrovatelných polynomů.

Při optimalizaci, modulaci a modelování výsledků funguje jako standardizovaný výraz, který je po několika generacích častým zdrojem pro inženýrství.

Fourierova řada

Jsou to série definované z hlediska Cosines and Sines; Slouží k usnadnění práce s obecnými periodickými funkcemi. Jsou-li aplikovány, jsou součástí technik pro řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic.

Fourierovy řady jsou ještě obecnější než Taylorovy řady, protože vyvíjejí periodické diskontinuální funkce, které nemají Taylorovy řady reprezentovány.

Další formy Fourierovy řady

Pro analytické pochopení Fourierovy transformace je důležité přezkoumat další způsoby, jak lze najít Fourierovu řadu, dokud nebude Fourierova řada definována ve své komplexní notaci.

-Fourier série na funkci období 2L

Mnohokrát je nutné přizpůsobit strukturu Fourierovy řady periodickým funkcím, jejichž perioda je p = 2L> 0 v intervalu.

-Fourier série v liché a sudé funkce

Interval se zvažuje, což poskytuje výhody, když se využívají symetrické charakteristiky funkcí.

Je-li f sudé, je Fourierova řada vytvořena jako řada Kosinů.

Jestliže f je liché, je Fourierova řada vytvořena jako řada Sinů.

-Komplexní zápis Fourierovy řady

Pokud máme funkci f (t), která splňuje všechny vývojové požadavky Fourierovy řady, je možné ji označit v intervalu pomocí její komplexní notace:

Aplikace

Zdroj: pexels

Výpočet základního řešení

Fourierova transformace je výkonným nástrojem při studiu parciálních diferenciálních rovnic lineárního typu s konstantními koeficienty. Platí stejně pro funkce s neomezenými doménami.

Stejně jako Laplaceova transformace, Fourierova transformace transformuje částečnou derivační funkci na obyčejnou diferenciální rovnici mnohem jednodušší na ovládání.

Cauchyův problém pro tepelnou rovnici představuje pole časté aplikace Fourierovy transformace, kde je generováno jádro tepla nebo Dirichletova jádrová funkce.

Pokud jde o výpočet základního řešení, jsou uvedeny následující případy, kdy je běžné najít Fourierovu transformaci:

Teorie signálů

Obecný důvod pro použití Fourierovy transformace v této větvi je hlavně kvůli charakteristickému rozkladu signálu jako nekonečná superpozice snadno zpracovatelných signálů.

Může to být zvuková vlna nebo elektromagnetická vlna, Fourierova transformace ji vyjadřuje v superpozici jednoduchých vln. Toto zastoupení je v elektrotechnice poměrně časté.

Na druhé straně jsou příklady použití Fourierovy transformace v oblasti teorie signálů:

Příklady

Příklad 1

Definujte Fourierovu transformaci pro následující výraz:

Můžeme ji také reprezentovat následujícím způsobem:

F (t) = Sen (t)

Pravoúhlý puls je definován:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Fourierova transformace je aplikována na následující výraz, který připomíná modulační větu.

f (t) = p (t) Sen (t)

Kde: F = (1/2) i

Fourierova transformace je definována:

F = (1/2) i

Příklad 2

Definujte Fourierovu transformaci pro výraz:

Protože f (h) je sudá funkce, lze říci, že

Integrace po částech se provádí výběrem proměnných a jejich diferenciálů následujícím způsobem

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h) ² v = (e ^-h) ² /2

Nahrazení máte

Po vyhodnocení podle fundamentální věty o počtu

Použitím předchozích znalostí týkajících se diferenciálních rovnic prvního řádu je výraz označen jako

Pro získání K hodnotíme

Nakonec je Fourierova transformace výrazu definována jako

Navrhovaná cvičení

• 

• 

• Získejte transformaci výrazu W / (1 + w ²)

Reference

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourierova analýza. Addison - Wesley Iberoamericana, Autonomní univerzita v Madridu, 1995.
2. Lvi, JL, matematická analýza a numerické metody pro vědu a technologii. Springer - Verlag, 1990.
3. Lieb, EH, gaussovská jádra mají pouze gaussovské maximalizátory. Vymyslet. Matematika. 102, 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourierova řada a integrály. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distributions. Ed. Hermann, Paříž, 1966.