DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE: VLASTNOSTI, APLIKACE, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Diskrétní Fourierova transformace je numerická metoda používá k definování vzorků vztahujících se spektrální frekvence, které tvoří signál. Studuje periodické funkce v uzavřených parametrech a výsledkem je další diskrétní signál.

Za účelem získání diskrétní Fourierovy transformace N bodů musí být na diskrétním signálu splněny následující 2 podmínky na sekvenci x

TDF

Diskrétní Fourierova transformace může být definována jako vzorkování N-bodu Fourierovy transformace.

Interpretace diskrétní Fourierovy transformace

Zdroj: Pexels

K dispozici jsou 2 úhly pohledu, ze kterých jsou výsledky získané na sekvenci X _je lze interpretovat pomocí diskrétní Fourierovy transformace.

- První odpovídá spektrálním koeficientům, které jsou již známy z Fourierovy řady. Je pozorována v diskrétních periodických signálech, přičemž vzorky se shodují se sekvencí x _s.

- Druhý se zabývá spektrem diskrétního aperiodického signálu, se vzorky odpovídající sekvenci x _s.

Diskrétní transformace je aproximací ke spektru původního analogového signálu. Jeho fáze závisí na okamžicích vzorkování, zatímco jeho velikost závisí na intervalu vzorkování.

Vlastnosti

Algebraické základy struktury tvoří odůvodnění následujících oddílů.

Linearita

C. S _n → C. F; Pokud je posloupnost násobena skalárem, její transformace bude také.

T _n + V _n = F + F; Transformace součtu se rovná součtu transformací.

Dualita

F → (1 / N) S- _k; Pokud je diskrétní Fourierova transformace přepočítána na výraz, který již byl transformován, získá se stejná exprese, upravená v N a převrácena vzhledem k vertikální ose.

Konvoluce

Sledováním podobných cílů jako v Laplaceově transformaci se konvoluce funkcí vztahuje na produkt mezi jejich Fourierovými transformacemi. Konvoluce platí také pro diskrétní časy a je zodpovědná za mnoho moderních postupů.

X _n * R _n → F. F; Transformace konvoluce se rovná součinu produktů transformací.

X _n. R _n → F * F; Transformace produktu se rovná konvoluci transformací.

Přemístění

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km}; Pokud je sekvence zpožděna vzorkem m, bude jejím účinkem na diskrétní transformaci změna úhlu definovaného (2π / N) km.

Symetrie

X _t = X * _t = X _t

Modulace

W ^-nm _N. x ↔ X _t

Produkt

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Symetrie

X ↔ X _t = X * _t

Sdružené

x * ↔ X * _t

Parsevální rovnice

S ohledem na konvenční Fourierovu transformaci má několik podobností a rozdílů. Fourierova transformace převádí sekvenci na plnou čáru. Tímto způsobem se říká, že výsledkem Fourierovy proměnné je komplexní funkce skutečné proměnné.

Diskrétní Fourierova transformace, na rozdíl od, přijímá diskrétní signál a transformuje jej do jiného diskrétního signálu, tj. Posloupnosti.

K čemu je diskrétní Fourierova transformace?

Slouží především k podstatnému zjednodušení rovnic a transformaci odvozených výrazů do mocenských prvků. Označování diferenciálních výrazů v integrovatelných polynomiálních formách.

Při optimalizaci, modulaci a modelování výsledků funguje jako standardizovaný výraz, který je po několika generacích častým zdrojem pro inženýrství.

Zdroj: pixabay

Dějiny

Tento matematický koncept byl představen Josephem B. Fourierem v roce 1811, zatímco vyvinul pojednání o šíření tepla. Rychle jej přijaly různé vědní a inženýrské obory.

Byl založen jako hlavní pracovní nástroj při studiu rovnic s parciálními deriváty, a to dokonce ve srovnání se stávajícím pracovním vztahem Laplaceovy transformace a obyčejných diferenciálních rovnic.

Každá funkce, kterou lze zpracovat pomocí Fourierovy transformace, musí být mimo definovaný parametr nulová.

Diskrétní Fourierova transformace a její inverze

Diskrétní transformace je získána pomocí výrazu:

Po zadání diskrétní sekvence X

Inverze diskrétní Fourierovy transformace je definována pomocí výrazu:

Reverzní PTO

Jakmile je dosaženo diskrétní transformace, umožňuje definovat sekvenci v časové doméně X.

Okřídlený

Proces parametrizace odpovídající diskrétní Fourierově transformaci leží v okénku. Abychom mohli transformaci zpracovat, musíme časovou sekvenci omezit. V mnoha případech tyto signály nemají tato omezení.

Sekvence, která nesplňuje kritéria velikosti pro použití na diskrétní transformaci, může být vynásobena funkcí „okna“ V, která definuje chování sekvence v kontrolovaném parametru.

X. PROTI

Šířka spektra bude záviset na šířce okna. Když se šířka okna zvětšuje, vypočtená transformace bude užší.

Aplikace

Výpočet základního řešení

Diskrétní Fourierova transformace je výkonným nástrojem při studiu diskrétních sekvencí.

Diskrétní Fourierova transformace transformuje spojitou proměnnou funkci na diskrétní proměnnou transformaci.

Cauchyův problém pro tepelnou rovnici představuje časté pole aplikace diskrétní Fourierovy transformace . Kde je generována základní funkce tepla nebo Dirichletova jádra, což platí pro hodnoty odběru vzorků v definovaném parametru.

Teorie signálů

Obecný důvod pro použití diskrétní Fourierovy transformace v této větvi je hlavně kvůli charakteristickému rozkladu signálu jako nekonečná superpozice snadno zpracovatelných signálů.

Může to být zvuková vlna nebo elektromagnetická vlna, diskrétní Fourierova transformace ji vyjadřuje v superpozici jednoduchých vln. Toto zastoupení je v elektrotechnice poměrně časté.

Fourierova řada

Jsou to série definované z hlediska Cosines a Sines. Slouží k usnadnění práce s obecnými periodickými funkcemi. Jsou-li aplikovány, jsou součástí technik pro řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic.

Fourierovy řady jsou ještě obecnější než Taylorovy řady, protože vyvíjejí periodické diskontinuální funkce, které nemají Taylorovy řady reprezentovány.

Další formy Fourierovy řady

Pro analytické pochopení Fourierovy transformace je důležité přezkoumat další způsoby, jak lze najít Fourierovu řadu, dokud nebudeme moci definovat Fourierovu řadu v jejím komplexním zápisu.

-Fourierova řada na funkci periody 2L:

Interval se zvažuje, což poskytuje výhody, když se využívají symetrické charakteristiky funkcí.

Je-li f sudé, je Fourierova řada vytvořena jako řada Kosinů.

Jestliže f je liché, je Fourierova řada vytvořena jako řada Sinů.

-Komplexní zápis Fourierovy řady

Pokud máme funkci f (t), která splňuje všechny požadavky Fourierovy řady, je možné ji označit v intervalu pomocí její komplexní notace:

Příklady

Pokud jde o výpočet základního řešení, jsou uvedeny následující příklady:

Na druhé straně jsou následující příklady použití diskrétní Fourierovy transformace v oblasti teorie signálů:

- Problémy s identifikací systému. Stanoveno f a g

-Problem s konzistencí výstupního signálu

-Problémy s filtrováním signálu

Cvičení

Cvičení 1

Vypočítat diskrétní Fourierovu transformaci pro následující sekvenci.

PTO x lze definovat jako:

X _t = {4, -j2, 0, J2} pro k = 0, 1, 2, 3,

Cvičení 2

Chceme určit spektrální signál definovaný výrazem x (t) = e ^-t pomocí digitálního algoritmu. Kde je maximální koeficient žádající frekvence f _m = 1Hz. Harmonická odpovídá f = 0,3 Hz, chyba je omezena na méně než 5%. Vypočítat f _s, D a N.

Při zohlednění věty o vzorkování f _s = 2f _m = 2 Hz

Zvolí se frekvenční rozlišení f ₀ = 0,1 Hz, ze kterého dostaneme D = 1 / 0,1 = 10 s

0,3 Hz je frekvence odpovídající indexu k = 3, kde N = 3 × 8 = 24 vzorků. Označuje, že f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Protože cílem je získat nejnižší možnou hodnotu pro N, lze za řešení považovat následující hodnoty:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33 s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Reference

1. Zvládnutí diskrétní Fourierovy transformace v jedné, dvou nebo několika dimenzích: nástrahy a artefakty. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19. července. 2013
2. DFT: Uživatelská příručka pro Diskrétní Fourierovu Transformaci. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1. ledna. devatenáct devadesát pět
3. Digitální zpracování signálů: teorie a praxe. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transformace a rychlé algoritmy pro analýzu a reprezentaci signálů. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6. prosince. 2012
5. Diskrétní a spojité Fourierovy transformace: analýza, aplikace a rychlé algoritmy. Eleanor Chu. CRC Press, 19. března. 2008