ISOSCELES TRAPEZOID: VLASTNOSTI, VZTAHY A VZORCE, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Rovnoramenný lichoběžník je čtyřúhelník, v němž dvě ze stran jsou navzájem rovnoběžné, a kromě toho, dva úhly sousedící s jedním z těchto rovnoběžných stran mají stejnou míru.

Na obrázku 1 máme čtyřúhelník ABCD, ve kterém jsou strany AD a BC rovnoběžné. Úhly ABDAB a ∠ADC přiléhající k paralelní straně AD mají stejnou míru α.

Obrázek 1. Isosceles trapezium. Zdroj: F. Zapata.

Tento čtyřúhelník nebo čtyřstranný mnohoúhelník je tedy ve skutečnosti rovnoramenným lichoběžníkem.

V lichoběžníku se rovnoběžné strany nazývají základny a nerovnoběžné strany se nazývají postranní. Další důležitou charakteristikou je výška, což je vzdálenost, která odděluje paralelní strany.

Kromě lichoběžníku rovnoramenného existují i ​​jiné typy lichoběžníků:

-Tepezoidní scalen, který má všechny své úhly a různé strany.

- Obdélníkový rapezoid, u kterého má jedna strana pravé sousední úhly.

Lichoběžníkový tvar je běžný v různých oblastech designu, architektury, elektroniky, výpočtu a mnoha dalších, jak uvidíme později. Proto je důležité seznámit se s jeho vlastnostmi.

Vlastnosti

Exkluzivní lichoběžník

Pokud je lichoběžník rovnoramenný, má následující charakteristické vlastnosti:

1.- Strany mají stejné měření.

2.- Úhly sousedící se základnami jsou stejné.

3.- Opačné úhly jsou doplňkové.

4.- Diagonály mají stejnou délku, přičemž dva segmenty, které spojují protilehlé vrcholy, jsou stejné.

5.- Úhel vytvořený mezi základnami a diagonálami je stejný.

6.- Má ohraničený obvod.

Naopak, pokud lichoběžník splňuje některou z výše uvedených vlastností, jedná se o lichoběžník rovnoramenný.

Pokud je v lichoběžníku rovnoramenný jeden z úhlů pravý (90 °), budou všechny ostatní úhly také správné, čímž vytvoří obdélník. To znamená, že obdélník je zvláštní případ lichoběžníku rovnoramenného.

Obrázek 2. Nádoba na popcorn a školní stoly jsou tvarovány jako lichoběžníkové rovnoramenné oblouky. Zdroj: Pxfuel (vlevo) / McDowell Craig přes Flickr. (že jo)

Pro všechny hrazdy

Následující sada vlastností platí pro jakýkoli lichoběžník:

7.- Medián lichoběžníku, tj. Segmentu, který spojuje střed svých neparalelních stran, je rovnoběžný s jakoukoli ze základen.

8.- Délka mediánu je rovna semisu (součtu děleno 2) délky jeho základen.

9.- Medián lichoběžníku řezá jeho úhlopříčky ve středu.

10.- Diagonály lichoběžníku se protínají v bodě, který je rozděluje na dvě části úměrné kvocientům bází.

11.- Součet čtverců úhlopříček lichoběžníku se rovná součtu čtverců jeho stran plus dvojnásobku součtu jeho základen.

12.- Segment, který spojuje středy diagonálů, má délku rovnou polovičnímu rozdílu základen.

13.- Úhly sousedící s boky jsou doplňkové.

14. - Lichoběžník má opsaný obvod, a to pouze tehdy, je-li součet jeho základen roven součtu jeho stran.

15. - Pokud lichoběžník má vyznačený obvod, pak úhly s vrcholem ve středu uvedeného obvodu a stranami, které procházejí konci stejné strany, jsou pravými úhly.

Vztahy a vzorce

Následující soubor vztahů a vzorců je uveden na obrázku 3, kde jsou vedle lichoběžníků rovnoramenného znázorněny další důležité segmenty, které již byly zmíněny, jako jsou úhlopříčky, výška a střední hodnota.

Obrázek 3. Medián, úhlopříčky, výška a ohraničený obvod v lichoběžníku rovnoramenného. Zdroj: F. Zapata.

Unikátní vztahy lichoběžníku rovnoramenných

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA a ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º a ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6. - A, B, C a D patří do ohraničeného kruhu.

Vztahy pro všechny hrazdy

1. Pokud AK = KB a DL = LC ⇒ KL - AD a KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 a DN = NB = DB / 2

10. AO / OC = AD / BC a DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180 ° a ∡CDA + ∡BCD = 180 °

14. - Pokud AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R, než je vzdálenost od AD, BC, AB a DC

15. - Pokud ∃ R je stejně vzdálená od AD, BC, AB a DC, pak:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Vztahy pro lichoběžníkové lichoběžníky s vyznačeným obvodem

Pokud je v lichoběžníku rovnoramenného součet bází roven dvojnásobku postranního, pak existuje opsaný obvod.

Obrázek 4. Lichoběžník s popisovaným obvodem. Zdroj: F. Zapata.

Následující vlastnosti platí, když má lichoběžník s rovnoramenným okrajem vyznačený obvod (viz obrázek 4 výše):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Diagonály se protínají v pravém úhlu: AC ⊥ BD

18.- Výška je stejná jako střední hodnota: HF = KL, tj. H = m.

19.- Čtverec výšky se rovná součinu základen: h ² = BC⋅AD

20.- Za těchto specifických podmínek se plocha lichoběžníku rovná čtverci výšky nebo součinu základen: Plocha = h ² = BC⋅AD.

Vzorce pro určení jedné strany, poznání ostatních a úhlu

Znalost základny, postranního a úhlu, druhá základna může být určena:

a = b + 2c Cos a

b = a - 2c Cos a

Pokud jsou délka základen a úhel uvedeny jako známá data, pak jsou délky obou stran:

c = (a - b) / (2 Cos a)

Stanovení jedné strany, poznání ostatních a úhlopříčka

A = (d ₁ ² - C ²) / b;

b = (d ₁ ² - C ²) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Kde d ₁ je délka úhlopříček.

Základna z výšky, plochy a jiné základny

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Známé boční základny, plocha a úhel

c = (2A) /

Známý střední směr, plocha a úhel

c = A / (m sin α)

Známá výška stran

h = √

Známá výška úhel a dvě strany

h = tg a⋅ (a - b) / 2 = c. hřích α

Známé úhlopříčky všech stran nebo dvou stran a úhel

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Obvod rovnoramenného trojúhelníku

P = a + b + 2c

Oblast lichoběžníku Isosceles

Existuje několik vzorců pro výpočet oblasti, v závislosti na známých datech. Následující je nejznámější v závislosti na základnách a výšce:

A = h⋅ (a + b) / 2

A můžete také použít tyto další:

- Jsou-li známy strany

A = √

-Když máte dvě strany a úhel

A = (b + c Cos a) c Sen α = (a - c Cos a) c Sen α

-Je-li znám poloměr opsané kružnice a úhel

A = 4 r ² / Sen a = 4 r ² / Sen β

-Když jsou známy základny a úhel

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Pokud lichoběžník může být zapsán obvod

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

- Zjistěte úhlopříčky a úhel, který spolu tvoří

A = (d ₁ ² /2) = γ Sen (d ₁ ² /2), delta Sen

-Když máte boční, střední a úhel

A = mc.sen a = mc.sen β

Poloměr ohraničeného kruhu

Pouze rovnoramenné lichoběžníky mají ohraničený obvod. Jestliže _{je známa} větší základna a, boční c a diagonála d ₁, pak poloměr R kružnice, která prochází čtyřmi vrcholy lichoběžníku, je:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Kde p = (a + c + d ₁) / 2

Příklady použití lichoběžníku isosceles

Lichoběžníkové rovnoramenné lichoběžníky se objevují v oblasti designu, jak je vidět na obrázku 2. A zde jsou některé další příklady:

V architektuře a stavebnictví

Starověcí Inkové znali lichoběžníkové rovnorameny a použili jej jako stavební prvek v tomto okně v peruánském městě Cuzco:

Obrázek 5. Trapézové okno Coricancha, Cuzco. Zdroj: Wikimedia Commons.

A zde se lichoběžník znovu objevuje v tzv. Lichoběžníkovém plechu, materiálu často používaném ve stavebnictví:

Obrázek 6. Trapézový plech dočasně chránící okna budovy. Zdroj: Wikimedia Commons.

V designu

Už jsme viděli, že se lichoběžník izosceles objevuje v každodenních předmětech, včetně potravin jako je tato čokoláda:

Obrázek 7. Čokoládová tyčinka, jejíž obličeje jsou tvarovány jako lichoběžník s rovnoramenným lemem. Zdroj: Pxfuel.

Řešená cvičení

- Cvičení 1

Rovnoramenný lichoběžník má základnu větší než 9 cm, základnu menší než 3 cm a její úhlopříčky každý 8 cm. Vypočítat:

stranou

b) Výška

c) Obvod

d) Oblast

Obrázek 8. Schéma cvičení 1. Zdroj: F. Zapata

Řešení

Je vynesena výška CP = h, kde noha výšky definuje segmenty:

PD = x = (ab) / 2 r

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Použití Pythagorovy věty na pravoúhlý trojúhelník DPC:

c ² = H ² + (a - b) ² /4

A také na pravoúhlý trojúhelník APC:

d ² = H ² + AP ² = H ² + (a + b) ² /4

Nakonec se odečte člen po druhém, druhá rovnice od první a zjednodušená:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

B. Řešení

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ²) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 - 7 = 5,29 cm

Řešení c

Obvod = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2 - 06 083 = 24,166 cm

Řešení d

Plocha = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Cvičení 2

Existuje rovnoramenný lichoběžník, jehož větší základna je dvakrát menší a její menší základna se rovná výšce, která je 6 cm. Rozhodni se:

a) Délka bočnice

b) Obvod

c) Oblast

d) Úhly

Obrázek 8. Schéma cvičení 2. Zdroj: F. Zapata

Řešení

Data: a = 12, b = a / 2 = 6 a h = b = 6

Postupujeme tímto způsobem: nakreslíme výšku ha použijeme Pythagorovu větu na hypoténkový trojúhelník «c» a nohy h a x:

c ² = H ² + xc ²

Potom musíte vypočítat hodnotu výšky z dat (h = b) a hodnoty nohy x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Nahrazení předchozích výrazů, které máme:

c ² = b ² + (ab ') ² /2 ²

Nyní jsou zavedeny číselné hodnoty a je to zjednodušeno:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Získání:

c = 3 - 5 = 6,71 cm

B. Řešení

Obvod P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6,5 = 6 (8 + -5) = 61,42 cm

Řešení c

Plocha v závislosti na výšce a délce základen je:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Řešení d

Úhel a, který se laterální tvoří s větší základnou, se získá trigonometricky:

Tan (a) = h / x = 6/3 = 2

a = ArcTan (2) = 63,44 °

Druhý úhel, ten, který tvoří laterál s menší základnou, je β, který je doplňkem α:

p = 180 ° - a = 180 ° - 63,44 ° = 116,56 °

Reference

1. EA 2003. Prvky geometrie: s cvičeními a geometrií kompasu. University of Medellin.
2. Campos, F. 2014. Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Objevte polygony. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Generalized Polygons. Birkhäuser.
5. IGER. Matematika 1. semestr Tacaná. IGER.
6. Geometrie jr. 2014. Polygony. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren a Hornsby. 2006. Matematika: uvažování a aplikace. 10. Edice. Pearsonovo vzdělávání.
8. Patiño, M. 2006. Matematika 5. Redakční program.
9. Wikipedia. Trapéz. Obnoveno z: es.wikipedia.com