AKUTNÍ TROJÚHELNÍK: VLASTNOSTI A TYPY - MATEMATIKA - 2025

V akutní trojúhelníky jsou ty, jejichž tři vnitřní úhly jsou ostré úhly; to znamená, že míra každého z těchto úhlů je menší než 90 °. Protože nemáme žádný pravý úhel, máme, že Pythagorova věta neplatí pro tento geometrický útvar.

Proto, pokud chceme mít nějaký typ informací o kterékoli z jeho stran nebo úhlů, je nutné využít jiné věty, které nám umožňují mít přístup k uvedeným datům. Těmi, které můžeme použít, jsou sinusová věta a kosinova věta.

vlastnosti

Mezi charakteristiky, které má tento geometrický útvar, můžeme zdůraznit ty, které jsou dány prostou skutečností, že se jedná o trojúhelník. Mezi nimi máme:

- Trojúhelník je mnohoúhelník, který má tři strany a tři úhly.

- Součet jeho tří vnitřních úhlů se rovná 180 °.

- Součet dvou jeho stran je vždy větší než třetí.

Jako příklad se podívejme na následující trojúhelník ABC. Obecně označujeme jeho strany malým písmenem a jeho úhly velkým písmenem tak, že jedna strana a její opačný úhel mají stejné písmeno.

Z již uvedených charakteristik víme, že:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> ba ab + c> a

Hlavním rysem, který odlišuje tento typ trojúhelníku od zbytku, je to, že, jak jsme již zmínili, jeho vnitřní úhly jsou ostré; to znamená, že míra každého z jeho úhlů je menší než 90 °.

Akutní trojúhelníky, spolu s tupými trojúhelníky (ty, v nichž jeden z jejich úhlů má míru větší než 90 °), jsou součástí sady šikmých trojúhelníků. Tato sada se skládá z trojúhelníků, které nejsou pravoúhlé.

Protože šikmé trojúhelníky jsou součástí, musíme být schopni řešit problémy týkající se akutních trojúhelníků, musíme využít sinusovou teorém a kosinusovu větu.

Sinusova věta

Sinusová věta nám říká, že poměr strany k sinusu jejího protilehlého úhlu je roven dvojnásobku poloměru kruhu tvořeného třemi vrcholy uvedeného trojúhelníku. To znamená:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Kosinova věta

Na druhé straně, cosinova věta nám dává tyto tři rovnice pro jakýkoli trojúhelník ABC:

a ² = b ² + c ² -2bc * cos (A)

b ² = a ² + c ² -2ac * cos (B)

c ² = a ² + b ² -2ab * cos (C)

Tyto věty jsou také známé jako zákon sine a zákon o kosinu.

Další charakteristikou, kterou můžeme dát akutním trojúhelníkům, je to, že dva z nich jsou si rovni, pokud splňují některé z následujících kritérií:

- Pokud mají stejné tři strany.

- Pokud mají jednu stranu a dva stejné úhly k sobě.

- Pokud mají dvě stejné strany a úhel.

Typy

Akutní trojúhelníky lze klasifikovat podle jejich stran. Mohou to být:

Rovnostranné ostré trojúhelníky

Jsou to ostré trojúhelníky, které mají všechny své strany stejné, a proto všechny jejich vnitřní úhly mají stejnou hodnotu, která je A = B = C = 60 ° stupňů.

Jako příklad vezměme následující trojúhelník, jehož strany a, b a c mají hodnotu 4.

Rovnoramenné ostré trojúhelníky

Tyto trojúhelníky, kromě toho, že mají ostré vnitřní úhly, mají charakteristiku, že mají dvě ze svých stejných stran a třetí, který je obecně považován za základnu, se liší.

Příkladem tohoto typu trojúhelníků může být ten, jehož základna je 3 a jeho další dvě strany mají hodnotu 5. Při těchto měřeních by měl opačné úhly ke stejným stranám s hodnotou 72,55 ° a opačný úhel základna by byla 34,9 °.

Scalene ostré trojúhelníky

Jedná se o trojúhelníky, které mají různé strany dvě po dvou. Proto všechny jeho úhly, kromě toho, že jsou menší než 90 °, se liší od dvou do dvou.

Trojúhelník DEF (jehož rozměry jsou d = 4, e = 5 af = 6 a jeho úhly jsou D = 41,41 °, E = 55,79 ° a F = 82,8 °) je dobrým příkladem ostrého trojúhelníku scalene.

Rozlišení ostrých trojúhelníků

Jak jsme již řekli výše, k řešení problémů týkajících se akutních trojúhelníků je nutné použít sinusové a kosinové věty.

Příklad 1

Vzhledem k trojúhelníku ABC s úhly A = 30 °, B = 70 ° a stranou a = 5 cm chceme znát hodnotu úhlu C a strany b a c.

První věc, kterou uděláme, je skutečnost, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180 °, abychom získali hodnotu úhlu C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Vyčistíme C a máme:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Protože již známe tři úhly a jednu stranu, můžeme pomocí sinusové věty určit hodnotu zbývajících stran. Podle věty máme:

a / sin (A) = b / sin (B) a a / sin (A) = c / (sin (C)

Izolujeme b od rovnice a zůstane nám:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Nyní potřebujeme pouze vypočítat hodnotu c. Postupujeme stejným způsobem jako v předchozím případě:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

Takto získáme všechna data trojúhelníku. Jak vidíme, tento trojúhelník spadá do kategorie scalen akutního trojúhelníku.

Příklad 2

Vzhledem k trojúhelníku DEF se stranami d = 4 cm, e = 5 cm a f = 6 cm, chceme znát hodnotu úhlů uvedeného trojúhelníku.

V tomto případě použijeme kosínský zákon, který nám říká, že:

d ² = e ² + f ² - 2efcos (D)

Z této rovnice můžeme vyřešit cos (D), což nám v důsledku dává:

Cos (D) = ((4) ² - (5) ² - (6) ²) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Proto máme D≈ 41,41 °

S použitím teorémy senom nyní máme následující rovnici:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Řešení pro hřích (E), máme:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Proto máme E55,59 °

Konečně, s použitím součtu vnitřních úhlů trojúhelníku je 180 °, máme F≈82,8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometry (Reprint ed.). Pokrok.
2. Leake, D. (2006). Trojúhelníky (ilustrované vydání). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel. (2003). Rovinná metrická geometrie
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrie. CR technologie.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie a analytická geometrie. Pearsonovo vzdělávání.