SCALENEHO TROJÚHELNÍK: CHARAKTERISTIKA, VZOREC A OBLASTI, VÝPOČET - MATEMATIKA - 2025

Scalene trojúhelník je mnohoúhelník se třemi stranami, z nichž všechny mají různá opatření nebo délky; z tohoto důvodu je pojmenováno scalene, což v latině znamená lezení.

Trojúhelníky jsou polygony považované za nejjednodušší v geometrii, protože se skládají ze tří stran, tří úhlů a tří vrcholů. V případě scalenového trojúhelníku znamená, že mají všechny strany odlišné, že to bude také jeho tři úhly.

Charakteristika scalenových trojúhelníků

Scalene trojúhelníky jsou jednoduché mnohoúhelníky, protože žádná z jejich stran nebo úhlů nemá stejnou míru, na rozdíl od rovnoramenných a rovnostranných trojúhelníků.

Protože všechny jejich strany a úhly mají různá měřítka, jsou tyto trojúhelníky považovány za nepravidelné konvexní polygony.

Na základě amplitudy vnitřních úhlů jsou scalenovy trojúhelníky klasifikovány jako:

• Scalene pravoúhlý trojúhelník: všechny strany jsou odlišné. Jeden z jeho úhlů je pravý (90 ^nebo) a ostatní jsou ostré as různými rozměry.
• Obtuse scalene trojúhelník: všechny strany jsou různé a jeden z jeho úhlů je tupý (> 90 ^nebo).
• Scalene ostrý trojúhelník: všechny strany jsou různé. Všechny úhly jsou ostré (<90 ^nebo) s různými rozměry.

Další charakteristikou scalenových trojúhelníků je to, že kvůli nesrovnalosti jejich stran a úhlů nemají osu symetrie.

Komponenty

Medián: je to čára, která začíná od středu jedné strany a dosahuje opačného vrcholu. Tři mediány se setkávají v bodě zvaném barycenter nebo centroid.

Směrnice: je to paprsek, který rozděluje každý úhel do dvou úhlů stejné míry. Křižníci trojúhelníku se setkávají v bodě zvaném motivátor.

Směrnice: je to úsečka kolmá ke straně trojúhelníku, která má svůj původ uprostřed. V trojúhelníku jsou tři křižníky a setkávají se v bodě zvaném circumcenter.

Výška: je to linie, která vede z vrcholu na stranu, která je opačná, a také tato linie je kolmá k této straně. Všechny trojúhelníky mají tři výšky, které se shodují v bodě zvaném orthocenter.

Vlastnosti

Scalene trojúhelníky jsou definovány nebo identifikovány, protože mají několik vlastností, které je reprezentují, pocházející z vět navrhovaných velkými matematiky. Oni jsou:

Vnitřní úhly

Součet vnitřních úhlů se vždy rovná 180 ^°.

Součet stran

Součet měr dvou stran musí být vždy větší než míra třetí strany, a + b> c.

Neslučitelné strany

Všechny strany scalene trojúhelníků mají různé míry nebo délky; to znamená, že jsou nesourodé.

Nesouhlasné úhly

Protože všechny strany scalenova trojúhelníku jsou odlišné, budou také jeho úhly. Součet vnitřních úhlů však bude vždy roven 180 ° av některých případech může být jeden z jeho úhlů tupý nebo pravý, zatímco v jiných budou všechny jeho úhly ostré.

Výška, střední hodnota, křivka a křivka nejsou náhodné

Stejně jako jakýkoli trojúhelník má i Scalene různé úsečky, které ji skládají, například: výška, střední hodnota, křivka a křivka.

Vzhledem ke specifičnosti jeho stran se v tomto typu trojúhelníku žádná z těchto čar neshoduje v jednom.

Orthocenter, barycenter, stimulátor a circumcenter nejsou náhodné

Vzhledem k tomu, že výška, medián, křivka a křivka jsou představovány různými úsečkami, budou v scalenovém trojúhelníku body setkávání - orthocenter, motivátor a circumcenter - nalezeny v různých bodech (neshodují se).

V závislosti na tom, zda je trojúhelník ostrý, pravý nebo šupinatý, má orthocenter různá umístění:

na. Pokud je trojúhelník ostrý, bude orthocenter uvnitř trojúhelníku.

b. Pokud je trojúhelník správný, orthocenter se bude shodovat s vrcholem pravé strany.

C. Pokud je trojúhelník tupý, orthocenter bude na vnější straně trojúhelníku.

Relativní výšky

Výšky jsou relativní ke stranám.

V případě scalenova trojúhelníku budou mít tyto výšky různá měření. Každý trojúhelník má tři relativní výšky a Heronův vzorec se používá k jejich výpočtu.

Jak vypočítat obvod?

Obvod mnohoúhelníku se vypočítá sčítáním stran.

Protože v tomto případě má scalene trojúhelník všechny jeho strany s různými rozměry, jeho obvod bude:

P = strana a + strana b + strana c.

Jak vypočítat oblast?

Plocha trojúhelníků se vždy počítá podle stejného vzorce, vynásobením výšky základních časů a dělením dvěma:

Plocha = (základna _* h) ÷ 2

V některých případech není výška scalenova trojúhelníku známa, ale existuje matematický vzorec, který navrhl matematik Herón, pro výpočet plochy, která zná měřítko tří stran trojúhelníku.

Kde:

• a, b a c představují strany trojúhelníku.
• sp, odpovídá poloměru obvodu trojúhelníku, tj. polovině obvodu:

sp = (a + b + c) ÷ 2

V případě, že máme pouze míru dvou stran trojúhelníku a úhel mezi nimi, lze plochu vypočítat pomocí trigonometrických poměrů. Musíte tedy:

Plocha = (strana _* h) ÷ 2

Kde výška (h) je součinem jedné strany a sinus opačného úhlu. Například pro každou stranu bude tato oblast:

• Plocha = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Plocha = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Plocha = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Jak vypočítat výšku?

Protože všechny strany scalenova trojúhelníku jsou různé, není možné vypočítat výšku pomocí Pythagorovy věty.

Z Heronova vzorce, který je založen na měřeních tří stran trojúhelníku, lze plochu vypočítat.

Výška může být vyčištěna z obecného vzorce oblasti:

Strana je nahrazena mírou strany a, b nebo c.

Dalším způsobem, jak vypočítat výšku, je-li známa hodnota jednoho z úhlů, je použití trigonometrických poměrů, kde výška bude představovat rameno trojúhelníku.

Například, když je znám úhel opačný k výšce, bude určen sinusem:

Jak vypočítat strany?

Když máte míru dvou stran a úhel opačný k nim, je možné určit třetí stranu použitím kosinovy ​​věty.

Například v trojúhelníku AB je vynesena výška vzhledem k segmentu AC. Tímto způsobem je trojúhelník rozdělen na dva pravé trojúhelníky.

Pro výpočet strany c (segment AB) použijte pro každý trojúhelník Pythagorovu větu:

• Pro modrý trojúhelník máme:

c ² = H ² + m ²

Protože m = b - n, nahrazujeme:

c ² = H ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2 miliardy + n ².

• Pro růžový trojúhelník musíte:

h ² = a ² - n ²

Je nahrazen v předchozí rovnici:

c ² = a ² - n ² + b ² - 2 miliardy + n ²

c ² = a ² + b ² - 2 miliardy.

S vědomím, že n = a _* cos C, je nahrazen v předchozí rovnici a získá se hodnota strany c:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Podle zákona o Kosinech lze strany vypočítat jako:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Existují případy, kdy rozměry stran trojúhelníku nejsou známy, ale spíše jejich výška a úhly vytvořené ve vrcholech. K určení plochy v těchto případech je nutné použít trigonometrické poměry.

Znát úhel jednoho z jeho vrcholů, identifikují se nohy a použije se odpovídající trigonometrický poměr:

Například, noha AB bude opačná pro úhel C, ale sousedí s úhlem A. V závislosti na straně nebo noze odpovídající výšce je druhá strana vyčištěna, aby se získala její hodnota.

Cvičení

První cvičení

Vypočítejte plochu a výšku scalenového trojúhelníku ABC s vědomím, že jeho strany jsou:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Řešení

Jako data jsou uvedena měření na třech stranách scalenového trojúhelníku.

Protože hodnota výšky není k dispozici, lze plochu určit pomocí Heronova vzorce.

Nejprve se vypočítá semiperimetr:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) - 2

sp = 36 cm x 2

sp = 18 cm.

Nyní jsou hodnoty nahrazeny Heronovým vzorcem:

Při znalosti oblasti lze vypočítat výšku vzhledem ke straně b. Z obecného vzorce, který to zúčtujeme, máme:

Plocha = (strana _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ²) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Druhé cvičení

Vzhledem k scalene trojúhelníku ABC, jehož opatření jsou:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

Ve vrcholu B se vytvoří úhel 50 °. Vypočítejte výšku vzhledem k straně c, obvodu a ploše tohoto trojúhelníku.

Řešení

V tomto případě máme měření ze dvou stran. Pro stanovení výšky je nutné vypočítat měření na třetí straně.

Protože úhel opačný k daným stranám je dán, je možné pro určení míry strany AC (b) použít zákon kosinů:

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Kde:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o.

Údaje se nahrazují:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482 025)

b ² = 367985

b = 367 985

b = 19,18 m.

Protože již máme hodnotu tří stran, vypočítá se obvod tohoto trojúhelníku:

P = strana a + strana b + strana c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Nyní je možné určit oblast pomocí Heronova vzorce, ale nejprve se musí vypočítat semiperimetr:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m 2

sp = 29,59 m.

Měření stran a semiperimetru jsou nahrazena Heronovým vzorcem:

Konečně s vědomím oblasti lze vypočítat výšku vzhledem ke straně c. Z obecného vzorce, zúčtování musíte:

Plocha = (strana _* h) ÷ 2

143.63 m ² = (25 m _* h) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ²) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Třetí cvičení

V scalene trojúhelníku ABC strana b je 40 cm, strana c je 22 cm, a vrchol A, úhel 90 je tvořen ^nebo. Vypočítejte plochu tohoto trojúhelníku.

Řešení

V tomto případě jsou uvedena opatření dvou stran scalenového trojúhelníku ABC, jakož i úhel, který je vytvořen ve vrcholu A.

K určení plochy není nutné vypočítat míru strany a, protože pomocí trigonometrických poměrů se k nalezení úhlu používá.

Protože úhel opačný k výšce je známý, bude určován součinem jedné strany a sinusem úhlu.

Nahrazování ve vzorci oblasti máme:

• Plocha = (strana _* h) ÷ 2
• h = c _* hřích A

Plocha = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Plocha = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Plocha = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Plocha = 880 cm ² ÷ 2

Plocha = 440 cm ².

Reference

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Technický výkres: činnost notebook.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrie. CR technologie,.
3. Angel, AR (2007). Elementární algebra. Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
5. Barbosa, JL (2006). Rovinná euklidovská geometrie. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Základy geometrie. Mexiko: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Elementární geometrie pro studenty vysokých škol. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000). Témata v teorii geometrických skupin. University of Chicago Press.