TROJÚHELNÍK FORMULÁŘE X ^ 2 + BX + C (S PŘÍKLADY) - MATEMATIKA - 2025

Předtím, než se naučíme řešit trinomiální tvar x ^ 2 + bx + c, a dokonce ještě před poznáním pojmu trinomiální, je důležité znát dva základní pojmy; jmenovitě pojmy monomiální a polynomiální. Monomial je výraz typu a * x ⁿ, kde a je racionální číslo, n je přirozené číslo a x je proměnná.

Polynom je lineární kombinace monomů ve tvaru a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀, kde každý a _i, s i = 0,…, n, je racionální číslo, n je přirozené číslo a a_n je nenulové. V tomto případě je stupeň polynomu označen jako n.

Polynom vytvořený součtem pouze dvou termínů (dvou monomů) různých stupňů je známý jako binomiální.

Trinomials

Polynom vytvořený součtem pouze tří termínů (tři monomials) různých stupňů je známý jako trinomial. Zde jsou příklady trinomií:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Existuje několik typů trinomií. Z nich vyniká dokonalý čtvercový trinomial.

Perfektní čtvercový trojhran

Dokonalý čtvercový trinomál je výsledkem vyrovnání binomie. Například:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴) ² -2 (1 / 4xy ⁴) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Vlastnosti trinomií 2. stupně

Perfektní náměstí

Obecně platí, že trinomiální tvar ax ² + bx + c je dokonalý čtverec, pokud je jeho rozlišovací schopnost rovna nule; to znamená, že pokud b ² -4ac = 0, protože v tomto případě bude mít jeden kořen a může být vyjádřen ve tvaru a (xd) ² = (√a (xd)) ², kde d je již zmíněný kořen.

Kořen polynomu je číslo, ve kterém se polynom nula; jinými slovy, číslo, které při nahrazení x v polynomickém výrazu vyústí v nulu.

Řešení vzorce

Obecný vzorec pro výpočet kořenů druhého stupně polynomu tvaru ax ² + bx + c je rozlišovací vzorec, který uvádí, že tyto kořeny jsou dány (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, kde b ² -4ac je znám jako diskriminační a obvykle se označuje ∆. Z tohoto vzorce vyplývá, že ax ² + bx + c má:

- Dva různé skutečné kořeny, pokud ∆> 0.

- Jeden skutečný kořen, pokud ∆ = 0.

- Nemá skutečný root, pokud if <0.

V následujícím se budou brát v úvahu pouze trojice ve tvaru x ² + bx + c, kde jasně musí být číslo jiné než nula (jinak by to bylo binomické). Tyto typy trinomiálů mají určité výhody, když s nimi factoringují a pracují.

Geometrická interpretace

Geometricky je trinomial x ² + bx + c je parabola, která se otevírá směrem nahoru a má vrchol v bodě (-b / 2, -B ² /4 + c) kartézského letadla, že x ² + bx + c = (x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

To snižuje parabola ose y v bodě (0, c) a s osou X v bodech (d ₁, 0) a (D ₂, 0); pak d ₁ a d ₂ jsou kořeny trinomialu. Může se stát, že trinomial má jediný kořen d, v takovém případě by byl jediný řez osou X (d, 0).

Mohlo by se také stát, že trinomial nemá skutečný kořen, a v takovém případě by v žádném bodě neprotínal osu X.

Například x ² + 6 x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² je parabola s vrcholem na (-3,0), která protíná osu Y v (0, 9) a na osu X při (-3,0).

Trinomiální faktoring

Velmi užitečným nástrojem při práci s polynomy je faktoring, který spočívá v vyjádření polynomu jako součin faktorů. Obecně lze říci, že vzhledem k trojici ve tvaru x ² + bx + c, pokud má dva různé kořeny d ₁ a d ₂, lze jej faktorizovat jako (xd ₁) (xd ₂).

Pokud má jeden kořen d, může být faktorován jako (xd) (xd) = (xd) ², a pokud nemá skutečný kořen, zůstává stejný; v tomto případě nepřipouští faktorizaci jako součin faktorů jiných než sám o sobě.

To znamená, že díky znalosti kořenů trojice v již zavedené podobě lze snadno vyjádřit její faktorizaci, a jak již bylo uvedeno výše, tyto kořeny lze vždy určit pomocí rezoluce.

Existuje však značné množství tohoto typu trinomií, které lze faktorovat, aniž by se nejprve znaly jejich kořeny, což práci zjednodušuje.

Kořeny lze určit přímo z faktorizace bez použití rozlišovacího vzorce; jedná se o polynomy tvaru x ² + (a + b) x + ab. V tomto případě máme:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Z toho je snadno vidět, že kořeny jsou –a a –b.

Jinými slovy, vzhledem k trinomiální x ² + bx + c, pokud existují dvě čísla u a v taková, že c = uv a b = u + v, pak x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

To znamená, že vzhledem k trojici x ² + bx + c se nejprve ověří, zda existují dvě taková čísla, která vynásobí, že vydají nezávislý výraz (c) a sčítají (nebo odečítají, podle případu), udávají termín, který doprovází x (b).

Ne se všemi trinomiály tímto způsobem lze tuto metodu použít; kde to není možné, použije se rozlišení a výše uvedené platí.

Příklady

Příklad 1

Chcete-li faktor následující trinomiální x ² + 3x + 2, postupujte takto:

Musíte najít dvě čísla tak, že při jejich přidání je výsledek 3 a že při jejich násobení je výsledek 2.

Po provedení kontroly lze usoudit, že hledaná čísla jsou: 2 a 1. Proto x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Příklad 2

Pro faktor trinomiální x ² -5x + 6 hledáme dvě čísla, jejichž součet je -5 a jejich součin je 6. Čísla, která splňují tyto dvě podmínky, jsou -3 a -2. Proto je faktorizace daný trinomial znamená x ² -5x blikne + 6 = (X-3), (X-2).

Reference

1. Fuentes, A. (2016). ZÁKLADNÍ MATH. Úvod do počtu. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematika: kvadratické rovnice: Jak řešit kvadratickou rovnici. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, a Paul, RS (2003). Matematika pro řízení a ekonomiku. Pearsonovo vzdělávání.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Math 1 SEP. Práh.
5. Preciado, CT (2005). Matematický kurz 3.. Editorial Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Tak snadné. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra a trigonometrie. Pearsonovo vzdělávání.