- Dějiny
- Pozadí analytické geometrie
- Století XVI
- Základy analytické geometrie
- Vliv
- Analytická geometrie tří a více rozměrů
- Reference
Tyto historické předchůdci analytické geometrie vrátit do sedmnáctého století, kdy Pierre de Fermat a René Descartes definována jeho základní myšlenku. Jeho vynález následoval modernizaci algebry a algebraického zápisu Françoise Viète.
Toto pole má své základy ve starověkém Řecku, zejména v dílech Apolloniuse a Euklida, kteří měli v této oblasti matematiky velký vliv.
Základní myšlenkou analytické geometrie je to, že vztah mezi dvěma proměnnými, takže jedna je funkcí druhé, definuje křivku.
Tato myšlenka byla poprvé vyvinuta Pierre de Fermat. Díky tomuto základnímu rámci byli Isaac Newton a Gottfried Leibniz schopni vytvořit počet.
Francouzský filozof Descartes také objevil algebraický přístup k geometrii, zřejmě na jeho vlastní. Descartesova práce na geometrii se objevuje v jeho slavné knize Diskuse o metodě.
Tato kniha zdůrazňuje, že geometrické konstrukce kompasu a rovného okraje zahrnují sčítání, odčítání, násobení a odmocniny.
Analytická geometrie představuje spojení dvou důležitých tradic v matematice: geometrie jako studium formy a aritmetika a algebra, které mají co do činění s množstvím nebo čísly. Analytická geometrie je tedy studiem pole geometrie pomocí souřadnicových systémů.
Dějiny
Pozadí analytické geometrie
Vztah mezi geometrií a algebrou se vyvíjel skrz historii matematiky, ačkoli geometrie dosáhla dřívějšího stadia zralosti.
Například řecký matematik Euclid dokázal ve své klasické knize Prvky uspořádat mnoho výsledků.
Ve své knize Conics však předpovídal vývoj analytické geometrie starověký řecký Apollonius z Pergy. Definoval kónus jako průnik mezi kuželem a letadlem.
S použitím Euklidovských výsledků na podobných trojúhelnících a sečnicích kruhů našel vztah daný vzdálenostmi od libovolného bodu „P“ kužele ke dvěma kolmým čarám, hlavní ose kužele a tangenty v koncovém bodě osy. Apollonius použil tento vztah k odvození základních vlastností kuželoseček.
Následný vývoj souřadných systémů v matematice se objevil až poté, co algebra dozrála díky islámským a indickým matematikům.
Až do renesance byla geometrie používána k ospravedlnění řešení algebraických problémů, ale nebylo nic, co by algebra mohla přispět k geometrii.
Tato situace by se změnila přijetím vhodného zápisu pro algebraické vztahy a vývojem koncepce matematické funkce, která byla nyní možná.
Století XVI
Na konci 16. století francouzský matematik François Viète představil první systematický algebraický zápis, pomocí písmen reprezentoval numerická množství, známá i neznámá.
Rovněž vyvinul silné obecné metody pro práci s algebraickými výrazy a řešení algebraických rovnic.
Díky tomu nebyli matematici při řešení problémů zcela závislí na geometrických obrazcích a geometrické intuici.
I někteří matematici začali opouštět standardní geometrický způsob myšlení, podle kterého lineární proměnné délek a čtverců odpovídají oblastem, zatímco krychlové proměnné odpovídají objemům.
První, kdo učinil tento krok, byl filozof a matematik René Descartes a právník a matematik Pierre de Fermat.
Základy analytické geometrie
Descartes a Fermat nezávisle založili analytickou geometrii během třicátých let 20. století, přičemž pro studium lokusu přijali Vièteovu algebru.
Tito matematici si uvědomili, že algebra byla mocným nástrojem v geometrii a vynalezla to, co je dnes známé jako analytická geometrie.
Jedním průlomem, který udělali, bylo překonat Viète pomocí písmen k reprezentaci vzdáleností, které jsou proměnlivé spíše než pevné.
Descartes použil rovnice ke studiu geometricky definovaných křivek a zdůraznil potřebu zvážit obecné algebraicko-grafické křivky polynomiálních rovnic ve stupních „x“ a „y“.
Fermat zdůraznil, že jakýkoli vztah mezi souřadnicemi „x“ a „y“ určuje křivku.
Pomocí těchto myšlenek restrukturalizoval Apolloniusovy výroky podle algebraických pojmů a obnovil část své ztracené práce.
Fermat naznačil, že jakákoli kvadratická rovnice v "x" a "y" může být umístěna ve standardní formě jedné z kónických řezů. Navzdory tomu Fermat nikdy nezveřejnil svou práci na toto téma.
Díky jejich pokrokům se to, co Archimedes dokázal vyřešit jen s velkými obtížemi, a pro izolované případy, Fermat a Descartes dokázali vyřešit rychle a pro velké množství křivek (nyní známých jako algebraické křivky).
Jeho nápady však získaly obecný souhlas prostřednictvím úsilí jiných matematiků v druhé polovině 17. století.
Matematici Frans van Schooten, Florimond de Beaune a Johan de Witt pomohli rozšířit Decartesovu práci a přidali důležitý další materiál.
Vliv
V Anglii popularizoval analytickou geometrii John Wallis. On používal rovnice definovat kóniky a odvodit jejich vlastnosti. Ačkoli volně používal negativní souřadnice, byl to Isaac Newton, který použil dvě šikmé osy k rozdělení letadla na čtyři kvadranty.
Newton a německý Gottfried Leibniz revolucionizovali matematiku na konci 17. století tím, že nezávisle demonstrovali sílu počtu.
Newton demonstroval význam analytických metod v geometrii a jejich roli v počtu, když tvrdil, že každá krychle (nebo jakákoli algebraická křivka třetího stupně) má tři nebo čtyři standardní rovnice pro vhodné souřadnicové osy. V roce 1717 to dokázal skotský matematik John Stirling za pomoci samotného Newtona.
Analytická geometrie tří a více rozměrů
Přestože jak Descartes, tak Fermat navrhli použít tři souřadnice ke studiu křivek a povrchů v prostoru, trojrozměrná analytická geometrie se vyvíjela pomalu až do roku 1730.
Matematici Euler, Hermann a Clairaut vytvořili obecné rovnice pro válce, kužely a rotační plochy.
Například, Euler používal rovnice pro překlady v prostoru transformovat obecný kvadratický povrch tak, že jeho hlavní osy se shodovaly s jeho souřadnými osami.
Euler, Joseph-Louis Lagrange a Gaspard Monge učinili analytickou geometrii nezávislou na syntetické (neanalytické) geometrii.
Reference
- Vývoj analytické geometrie (2001). Obnoveno z encyclopedia.com
- Historie analytické geometrie (2015). Obnoveno z maa.org
- Analýza (matematika). Obnoveno z britannica.com
- Analytická geometrie. Obnoveno z britannica.com
- Descartes a zrození analytické geometrie. Obnoveno z sciposedirect.com