ANTIDERIVATIVNÍ: VZORCE A ROVNICE, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Primitivní F (x) funkce f (x) je také nazýván primitivní nebo jednoduše neurčitý integrál uvedené funkce, je-li v daném intervalu I, je splněna, že f'(x) = f (x)

Například vezměme následující funkci:

f (x) = 4x ³

Antiderivátem této funkce je F (x) = x ⁴, protože při rozlišování F (x) pomocí derivačního pravidla pro mocnosti:

Dostaneme přesně f (x) = 4x ³.

Je to však pouze jeden z mnoha antiderivátů f (x), protože tato další funkce: G (x) = x ⁴ + 2 je také, protože při diferenciaci G (x) vzhledem k x se získá totéž zpět f (x).

Pojďme to zkontrolovat:

Pamatujte, že derivace konstanty je 0. Proto můžeme k výrazu x ⁴ přidat libovolnou konstantu a její derivace zůstane 4x ³.

Došlo se k závěru, že jakákoli funkce obecné formy F (x) = x ⁴ + C, kde C je skutečná konstanta, slouží jako antiderivát f (x).

Ilustrativní příklad výše lze vyjádřit takto:

dF (x) = 4x ³ dx

Antiderivativní nebo neurčitý integrál je vyjádřen symbolem ∫, proto:

F (x) = -4 x ³ dx = x ⁴ + C

Kde funkce f (x) = 4x ³ se nazývá integrand a C je konstanta integrace.

Příklady antiderivativ

Obrázek 1. Antiderivát není nic jiného než neurčitý integrál. Zdroj: Pixabay.

Nalezení antiderivátu funkce je jednoduché v některých případech, kdy jsou deriváty dobře známy. Například, nechť funkce f (x) = sin x, antiderivative pro ni je další funkce F (x), tak že když rozlišíme to dostaneme f (x).

Tato funkce může být:

F (x) = - cos x

Zkontrolujte, zda je to pravda:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Proto můžeme napsat:

∫sen x dx = -cos x + C

Kromě znalosti derivátů existují některá základní a jednoduchá integrační pravidla pro nalezení antiderivativního nebo neurčitého integrálu.

Nechť k je skutečná konstanta, pak:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Pokud lze funkci h (x) vyjádřit jako sčítání nebo odčítání dvou funkcí, pak je její neurčitý integrál:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

To je vlastnost linearity.

Pravidlo pravomocí integrálů lze stanovit tímto způsobem:

V případě n = -1 se použije následující pravidlo:

5 - ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Je snadné ukázat, že derivace ln x je přesně x ^-1.

Diferenciální rovnice

Diferenční rovnice je taková, ve které se neznámý nachází jako derivát.

Nyní, z předchozí analýzy, je snadné si uvědomit, že inverzní operace k derivátu je antiderivativní nebo neurčitý integrál.

Nechť f (x) = y´ (x), tj. Derivát určité funkce. K označení této derivace můžeme použít následující zápis:

Z toho okamžitě vyplývá, že:

Neznámá diferenciální rovnice je funkce y (x), ta, jejíž derivace je f (x). Abychom to vyřešili, předchozí výraz je integrován na obou stranách, což je ekvivalentní použití antiderivative:

Levý integrál je řešen integračním pravidlem 1, s k = 1, čímž je vyřešen požadovaný neznámý:

A protože C je skutečná konstanta, aby bylo možné vědět, která z nich je v každém případě vhodná, musí prohlášení obsahovat dostatek dalších informací pro výpočet hodnoty C. Toto se nazývá počáteční podmínka.

Příklady použití tohoto všeho uvidíme v následující části.

Antiderivativní cvičení

- Cvičení 1

Aplikujte integrační pravidla a získejte následující antideriváty nebo neurčité integrály daných funkcí a výsledky co nejvíce zjednodušte. Je vhodné ověřit výsledek odvozením.

Obrázek 2. Cvičení antiderivativ nebo určitých integrálů. Zdroj: Pixabay.

Řešení

Nejprve použijeme pravidlo 3, protože integrand je součet dvou termínů:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Pro první integrál platí pravidlo moci:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

Ve druhém integrálním pravidle 1 se použije k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

A nyní jsou výsledky přidány. Obě konstanty jsou seskupeny do jedné, obecně nazývané C:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2) + 7x + C

B. Řešení

Linearitou je tento integrál rozložen na tři jednodušší integrály, na které bude aplikováno pravidlo moci:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Všimněte si, že konstanta integrace se objevuje pro každý integrál, ale setkávají se v jediné výzvě C.

Řešení c

V tomto případě je vhodné použít distribuční vlastnost multiplikace k vývoji integrandu. Poté se pravidlo moci použije k nalezení každého integrálu samostatně, jako v předchozím cvičení.

∫ (x + 1) (3 x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Pečlivý čtenář si všimne, že dva centrální termíny jsou podobné, proto jsou před integrací sníženy:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

E. Řešení

Jedním ze způsobů, jak vyřešit integrál, by bylo vyvinout sílu, jak tomu bylo v příkladu d. Protože je však exponent vyšší, bylo by vhodné proměnnou změnit, aby se nemusel tak dlouho vyvíjet.

Změna proměnné je následující:

u = x + 7

Odvození tohoto výrazu na obě strany:

du = dx

Integrál je transformován na jednodušší s novou proměnnou, která je řešena pomocí mocenského pravidla:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Nakonec se změna vrátí a vrátí se k původní proměnné:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Cvičení 2

Částice je zpočátku v klidu a pohybuje se podél osy x. Jeho zrychlení pro t> 0 je dáno funkcí a (t) = cos t. Je známo, že v čase t = 0 je pozice x = 3, vše v jednotkách mezinárodního systému. Je žádáno, aby našlo rychlost v (t) a polohu x (t) částice.

Řešení

Protože zrychlení je první derivace rychlosti s ohledem na čas, máme následující diferenciální rovnici:

a (t) = v´ (t) = cos t

Z toho vyplývá, že:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Na druhé straně víme, že rychlost je zase derivátem pozice, proto se znovu integrujeme:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Konstanty integrace jsou určeny z informací uvedených v prohlášení. Zaprvé to říká, že částice byla zpočátku v klidu, proto v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Pak máme x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Funkce rychlosti a polohy jsou rozhodně takové:

v (t) = hřích t

x (t) = - cos t + 4

Reference

1. Engler, A. 2019. Integrální počet. Národní univerzita v Litoralu.
2. Larson, R. 2010. Výpočet proměnné. 9. Edice. McGraw Hill.
3. Matematika zdarma texty. Antideriváty. Obnoveno z: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Antiderivativní. Obnoveno z: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Neurčitá integrace. Obnoveno z: es.wikipedia.org.