OBLOUK (GEOMETRIE): MÍRA, TYPY OBLOUKŮ, PŘÍKLADY - MATEMATIKA - 2025

Oblouk, v geometrii, je jakýkoliv zakřivená čára, která spojuje dva body. Zakřivená čára, na rozdíl od přímky, je taková, jejíž směr je v každém bodě na ní odlišný. Opakem oblouku je segment, protože se jedná o přímý úsek, který spojuje dva body.

Oblouk nejčastěji používaný v geometrii je oblouk obvodu. Jiné oblouky, které se běžně používají, jsou parabolický oblouk, eliptický oblouk a oblouk trolejového vedení. Oblouková forma je také často používána v architektuře jako dekorativní prvek a strukturální prvek. To je případ překladů dveří a oken, jakož i mostů a akvaduktů.

Obrázek 1. Duha je zakřivená čára, která spojuje dva body na obzoru. Zdroj: Pixabay

Oblouk a jeho rozměr

Míra oblouku je jeho délka, která závisí na typu křivky, která spojuje dva body a jejich umístění.

Délka kruhového oblouku je jedním z nejjednodušších výpočtů, protože délka celého oblouku nebo obvodu obvodu je známa.

Obvod kruhu je dvojnásobek pí poloměru: p = 2 π R. Když to budeme vědět, chceme-li vypočítat délku s kruhového oblouku úhlu α (měřeného v radiánech) a poloměru R, použije se poměr:

(s / p) = (a / 2 π)

Poté, očištěním z předchozího výrazu a nahrazením obvodu p jeho vyjádřením v závislosti na poloměru R, máme:

s = (a / 2 π) p = (a / 2 π) (2 π R) = a R.

To znamená, že míra kruhového oblouku je součinem jeho úhlového otevření krát poloměrem kruhového oblouku.

Pro oblouk obecně je problém komplikovanější do té míry, že velcí myslitelé starověku tvrdili, že to byl nemožný úkol.

Teprve příchod diferenciálního a integrálního počtu v roce 1665 byl problém měření oblouku uspokojivě vyřešen.

Před vynálezem diferenciálního počtu bylo možné najít řešení pouze pomocí polygonálních čar nebo oblouků obvodu, které se přiblížily skutečnému oblouku, ale tato řešení nebyla přesná.

Druhy luky

Z hlediska geometrie jsou oblouky klasifikovány podle zakřivené čáry, která spojuje dva body v rovině. Existují i ​​další klasifikace podle použití a architektonické podoby.

Kruhový oblouk

Když čára spojující dva body v rovině je kusem určitého poloměru, máme kruhový oblouk. Obrázek 2 ukazuje kruhový oblouk c poloměrů R spojovacích bodů A a B.

Obrázek 2. Kruhový oblouk poloměru R, který spojuje body A a B. Zpracováno Ricardem Pérezem.

Parabolický oblouk

Parabola je cesta, po které následuje předmět, který byl šikmo vržen do vzduchu. Když křivka, která spojuje dva body, je parabola, pak máme parabolický oblouk jako ten, který je znázorněn na obrázku 3.

Obrázek 3. Spojovací body parabolického oblouku A a B. Vypracoval Ricardo Pérez.

Toto je tvar proudu vody, který vychází z hadice směřující nahoru. Ve vodních zdrojích lze pozorovat parabolický oblouk.

Obrázek 4. Parabolický oblouk tvořený vodou z kašny v Drážďanech. Zdroj: Pixabay.

Catenary arch

Klenutý oblouk je další přírodní oblouk. Trend je křivka, která se přirozeně vytváří, když řetěz nebo lano volně visí ze dvou samostatných bodů.

Obrázek 5. Katétrový oblouk a srovnání s parabolickým obloukem. Připravil Ricardo Pérez.

Trend je podobný parabole, ale není úplně stejný, jak je vidět na obrázku 4.

Obrácený obloukový oblouk se používá v architektuře jako konstrukční prvek s vysokou pevností v tlaku. Ve skutečnosti se může ukázat, že je nejsilnějším typem luků ze všech možných tvarů.

Chcete-li vytvořit pevný oblouk trolejového vedení, stačí zkopírovat tvar zavěšeného lana nebo řetězu a zkopírovaný tvar se překlopí, aby se reprodukoval na dveřích nebo okenních překladech.

Eliptický oblouk

Oblouk je eliptický, pokud křivka spojující dva body je kus elipsy. Elipsa je definována jako lokus bodů, jejichž vzdálenost ke dvěma daným bodům vždy připočítává konstantní množství.

Elipsa je křivka, která se objevuje v přírodě: je to křivka trajektorie planet kolem Slunce, jak ukázal Johannes Kepler v roce 1609.

V praxi lze elipsu nakreslit připnutím dvou vzpěr k zemi nebo dvou kolíků v kusu papíru a navázáním na ně provázkem. Provaz je poté utažen fixem nebo tužkou a křivka je sledována. Kus elipsy je eliptický oblouk. Následující animace ukazuje, jak je elipsa nakreslena:

Obrázek 5. Sledování elipsy pomocí napnutého lana. Zdroj: Wikimedia Commons

Obrázek 6 ukazuje eliptické obloukové spojovací body G a H.

Obrázek 6. Eliptický oblouk spojující dva body. Připravil Ricardo Pérez.

Příklady oblouků

Následující příklady ukazují, jak vypočítat obvod některých konkrétních oblouků.

Příklad 1

Obrázek 7 ukazuje okno dokončené v řezu kruhového oblouku. Rozměry na obrázku jsou v stopách. Najděte délku oblouku.

Obrázek 7. Výpočet délky kruhového oblouku okna. (Vlastní poznámky - obrázek okna na Pixabay)

Pro získání středu a poloměru kruhového oblouku okenního překladu jsou na obrázku provedeny následující konstrukce:

- Segment KL je nakreslen a je nakreslena jeho křivka.

-Pokud je umístěn nejvyšší bod překladu, kterému říkáme M. Dále je uvažován segment KM a je sledována jeho mediatrix.

Průsečík dvou bisektorů je bod N a je také středem kruhového oblouku.

- Nyní musíme změřit délku segmentu NM, která se kryje s poloměrem R kruhového oblouku: R = 2,8 stopy.

- Chcete-li znát délku oblouku kromě poloměru, je nutné znát úhel, který vytváří oblouk. Který lze určit dvěma metodami, buď se měří úhloměrem, nebo se vypočítá trigonometricky.

V zobrazeném případě je úhel tvořený obloukem 91,13 °, který musí být převeden na radiány:

91,13 ° = 91,13 ° * π / 180 ° = 1,59 radiánů

Nakonec vypočítáme délku s oblouku pomocí vzorce s = α R.

s = 1,59 * 2,8 stopy = 4,45 stopy

Příklad 2

Najděte délku eliptického oblouku znázorněného na obrázku 8, znáte polopřímou osu r a polos vedlejší osu elipsy.

Obrázek 8. Eliptický oblouk mezi GH. Připravil Ricardo Pérez.

Nalezení délky elipsy bylo po dlouhou dobu jedním z nejtěžších problémů v matematice. Můžete získat řešení vyjádřená eliptickými integrály, ale pokud chcete mít číselnou hodnotu, musíte tyto integrály rozšířit v energetických řadách. Přesný výsledek by vyžadoval nekonečné termíny těchto řad.

Naštěstí hinduistický matematický génius Ramanujan, který žil mezi lety 1887 a 1920, našel vzorec, který se velmi přesně přibližuje obvodu elipsy:

Obvod elipsy s r = 3 cm a s = 2,24 cm je 16,55 cm. Zobrazený eliptický oblouk však má poloviční hodnotu:

Délka eliptického oblouku GH = 8,28 cm.

Reference

1. Clemens S. 2008. Geometrie a trigonometrie. Pearsonovo vzdělávání.
2. García F. Numerické postupy v Javě. Délka elipsy. Obnoveno z: sc.ehu.es
3. Dynamická geometrie. Luky. Obnoveno z geometriadinamica.es
4. Piziády. Elipsy a paraboly kolem nás. Obnoveno z: piziadas.com
5. Wikipedia. Oblouk (geometrie). Obnoveno z: es.wikipedia.com