KONJUGÁT BINOMICKÝ: JAK JEJ VYŘEŠIT, PŘÍKLADY, CVIČENÍ - MATEMATIKA - 2025

Konjugovaná dvojčlen jiného spárování je ten, ve kterém jsou rozlišeny pouze znakem operace. Binomial, jak jeho název napovídá, je algebraická struktura skládající se ze dvou termínů.

Některé příklady binomiků jsou: (a + b), (3m - n) a (5x - y). A jejich odpovídajícími konjugovanými binomiky jsou: (a - b), (-3m - n) a (5x + y). Jak je vidět okamžitě, rozdíl je ve znamení.

Obrázek 1. Binomický a jeho sdružený binomický. Mají stejné termíny, ale liší se ve znamení. Zdroj: F. Zapata.

Binomiální násobení jeho konjugátu má za následek pozoruhodný produkt, který je široce používán v algebře a vědě. Výsledkem násobení je odečtení čtverců podmínek původního binomického tvaru.

Například, (x - y) je binomický a jeho konjugát je (x + y). Výsledkem těchto dvou binomiků je tedy rozdíl čtverců výrazů:

(x - y) (x + y) = x. ² - y ²

Jak řešíte konjugovaný binomický soubor?

Stanovené pravidlo sdružených binomií je následující:

Jako příklad aplikace začneme demonstrací předchozího výsledku, kterého lze dosáhnout pomocí distribuční vlastnosti produktu vzhledem k algebraické sumě.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Výše uvedené násobení bylo získáno pomocí následujících kroků:

- První funkční období prvního binomického je vynásobeno prvním členem druhého funkčního období

- Pak první z prvních, za druhé z druhého

- Pak první z první z druhé ze druhé

- Konečně druhý z prvního do druhého z druhého.

Nyní udělejme malou změnu pomocí komutativní vlastnosti: yx = xy. Vypadá to takto:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - rr

Protože existují dva stejné termíny, ale opačné znaménko (zvýrazněné barevně a podtrženě), jsou zrušeny a zjednodušeno:

(x - y) (x + y) = xx - rr

Nakonec je aplikováno, že násobení čísla samo o sobě je ekvivalentní tomu, že je vynásobeno na čtverec, takže xx = x ² a také yy = y ².

Tímto způsobem se ukazuje, co bylo uvedeno v předchozí části, že součin součtu a jeho rozdíl je rozdíl čtverců:

(x - y) (x + y) = x. ² - y ²

Obrázek 2. Součet krát jeho rozdíl je rozdíl čtverců. Zdroj: F. Zapata.

Příklady

- Konjugované binomie různých výrazů

Příklad 1

Najděte konjugát (y ² - 3y).

Odpověď: (y ² + 3y)

Příklad 2

Získá se produkt (y ² - 3y) a jeho konjugát.

Odpověď: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ²) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Příklad 3

Vyvíjejte produkt (1 + 2a). (2a -1).

Odpověď: předchozí výraz je ekvivalentní (2a + 1). (2a -1), to znamená, že odpovídá součinu binomie a jeho konjugátu.

Je známo, že součin binomického a jeho sdruženého binomického je roven rozdílu čtverců podmínek binomického:

(2a + 1) (2a - 1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Příklad 4

Napište rozdíl (x + y + z) (x - y - z) jako rozdíl čtverců.

Odpověď: výše uvedené trinomiály můžeme přizpůsobit konjugované binomické formě, přičemž pečlivě používáme závorky a hranaté závorky:

(x + y + z) (x - y - z) =

Tímto způsobem lze aplikovat rozdíl čtverců:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Příklad 5

Vyjádřete produkt (m ² - m -1). (M ² + m -1) jako rozdíl čtverců.

Odpověď: předchozí výraz je výsledkem dvou trinomií. Nejprve musí být přepsán jako součin dvou sdružených binomií:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ^{2 -} 1 + m) =.

Aplikujeme skutečnost, že produkt binomie jeho konjugátem je kvadratickým rozdílem jeho pojmů, jak bylo vysvětleno:

. = (M ² -1) ² - m ²

Cvičení

Jako vždy začnete s nejjednoduššími cvičeními a poté zvýšíte úroveň složitosti.

- Cvičení 1

Napište (9 - ²) jako produkt.

Řešení

Nejprve přepíšeme výraz jako rozdíl čtverců, abychom použili to, co bylo dříve vysvětleno. Tím pádem:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²)

Dále faktor, který je ekvivalentní k zápisu tohoto rozdílu čtverců jako produktu, jak je požadováno ve výpisu:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²) = (3 + a) (3 -a)

- Cvičení 2

Faktor 16x ² - 9y ⁴.

Řešení

Faktoring výrazu znamená napsat jej jako produkt. V tomto případě je nutné výraz přepsat dříve, abyste získali rozdíl čtverců.

Není obtížné to udělat, protože při pečlivém pohledu jsou všechny faktory dokonalé čtverce. Například 16 je čtverec 4, 9 je čtverec 3 a ⁴ je čtverec y ² a x ² je čtverec x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ²) ²

Pak aplikujeme to, co již víme: že rozdíl čtverců je výsledkem konjugovaných binomiků:

(4x) ² - (3 a ²) ² = (4x - 3 a ²). (4x + 3 a ²)

- Cvičení 3

Napište (a - b) jako součin binomií

Řešení

Výše uvedený rozdíl by měl být zapsán jako rozdíly čtverců

(√a) ² - (√b) ²

Pak se aplikuje, že rozdíl čtverců je součinem konjugovaných binomií

(√a - √b) (√a + √b)

- Cvičení 4

Jedním z použití konjugovaného binomického je racionalizace algebraických výrazů. Tento postup spočívá v odstranění kořenů jmenovatele zlomkového výrazu, což v mnoha případech operace usnadňuje. Je požadováno použití binomického konjugátu k racionalizaci následujícího výrazu:

√ (2-x) /

Řešení

První věcí je identifikace sdruženého binomického jmenovatele:.

Nyní vynásobíme čitatel a jmenovatel původního výrazu konjugovaným binomickým číslem:

√ (2-x) / {.}

V jmenovateli předchozího výrazu rozpoznáváme součin rozdílu součtem, který již víme, odpovídá rozdílu čtverců binomiků:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Zjednodušení jmenovatele je:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Nyní se zabýváme čitatelem, u kterého použijeme distribuční vlastnost produktu vzhledem k součtu:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

V předchozím výrazu rozpoznáváme součin binomického (2-x) jeho konjugátu, což je pozoruhodný produkt rovný rozdílu čtverců. Tímto způsobem se konečně získá racionalizovaný a zjednodušený výraz:

/ (1 - x)

- Cvičení 5

Vyvíjejte následující produkt s využitím vlastností konjugovaného binomického:

Řešení

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x).a ^(6y) - 9a ^(2x).a ^(-6y) = a ^(2x)

Pozorný čtenář si všiml společného faktoru, který byl zvýrazněn barevně.

Reference

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Editorial Cultural Venezolana SA
2. González J. Konjugovaná binomická cvičení. Obnoveno z: academia.edu.
3. Učitel matematiky Alex. Pozoruhodné výrobky. Obnoveno z youtube.com.
4. Math2me. Konjugované binomie / významné produkty. Obnoveno z youtube.com.
5. Konjugované binomické produkty. Obnoveno z: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Konjugované binomie. Obnoveno z: youtube.com.